在本文第一章曾经提到，利用卡尔曼滤波器处理GPS 定位数据是提高GPS定位精度的一种有效而实用的技术。相比差分GPS 技术，它不需要添加额外的硬件，降低了用户成本，而且这是一种自主式定位技术，在战略上有一定的意义。所以，卡尔曼滤波方法在GPS 定位领域应用广泛，并且不断有新的研究成果问世。
本章将简要介绍卡尔曼滤波器的基本原理，以及卡尔曼滤波器在GPS 定位滤波中的应用现状，分析其在应用中存在的问题并探讨其改进的方向和思路。
本章的内容将是本论文研究工作的理论基础,同时也是本课题研究现状的简介。
4.1 卡尔曼滤波器理论
4.1.1 卡尔曼滤波理论的工程背景
在处理随机系统的状态的估计问题中，有用信号和噪声干扰都是随机过程，二者在频谱上可能有相当大的重叠部分。因此，这时候如果仍然按照处理确定性信号的滤波问题的方法，使用低通（或带通等）滤波器等传统滤波技术，难以从随机信号中滤出随机干扰。于是，在第二次世界大战末期，针对防空战斗的需要，在处理信号和噪声都是功率谱固定的一维平稳随机过程的问题中，提出了维纳滤波理论，据此可以导出滤波器的最佳冲激响应或传递函数。
但是，在现代随机信号处理中，信号和噪声往往是多维非平稳随机过程。因为其时变特性和不固定的功率谱等因素，使得维纳滤波理论不再适用。为此，1960年提出了卡尔曼滤波理论。它抛弃了维纳滤波理论使用的传统的频域处理方法，而采用时域上的递推算法，在数字计算机上进行数据处理，开创了随机估值滤波理论的新的道路。
自从卡尔曼滤波理论提出以来，就受到广泛得关注，美国著名的“阿波罗”登月工程中对飞船的轨迹的估计问题的成功解决就是卡尔曼滤波理论取得的第一次重大的成功。到今天为止，它已经成为控制、信号处理与通信等领域最基本最重要的计算方法和工具之一，并且已经成功地运用到航空、航天、工业过程甚至社会经济等广泛领域。
4.1.2 卡尔曼滤波理论
本节将以离散时间线性随机系统为例，来简要介绍卡尔曼滤波理论的基本思路和离散时间线性随机系统的卡尔曼滤波递推算法。考虑如图4.1 所示的离散时间线性随机系统
图4.2 卡尔曼滤波递推算法流程图
整个卡尔曼滤波递推算法的流程图如图4.2 所示。可以看出，卡尔曼滤波的递推算法其实就是一种“一步预报——修正”的循环渐进的过程。
4.2 卡尔曼滤波器在GPS 定位滤波中的应用概述
从前面几章的介绍中可以看到，为了更加充分的发挥GPS 定位功能的作用，拓宽GPS 的应用领域，必须尽可能的提高GPS 的定位精度。而差分GPS（包括广域差分GPS）技术虽然可以较为有效的达到这一要求，但是由于其需要建设基站，不仅大大增加了投入，而且从战略上来看，这种非自主式的定位方式也必然存在着一定的安全隐患；而用户端必须配备通讯模块以接收基站信息的特点也大大增加了用户的成本。因此，研究提高GPS 定位精度的自主式的方法就成为了客观的要求。
卡尔曼滤波理论自从提出以来，在各个工程领域获得了广泛的应用，特别是在信号处理和控制领域已经成为最重要也是最基本的计算方法和工具之一。近十几年来，卡尔曼滤波理论在GPS 动态数据处理与导航计算领域也得到了深入研究和广泛应用。
卡尔曼滤波器可以通过量测结果对估计结果进行不断的修正来得到最优估计，且其采用时域上的递推算法，简单易行，所以将卡尔曼滤波理论应用于GPS动态数据处理和导航计算是很自然的结果。但是卡尔曼滤波算法的使用条件也是比较苛刻的，它要求：
第一， 目标系统的状态方程和观测方程是线性的并且不存在模型不匹配的现象。
第二， 初始状态和噪声模型的先验统计特性都服从方差已知的零均值高斯分步。
如果上述条件不能满足的话，滤波结果一般就不是最优的。另外由于计算机字长有限的原因，使用软件进行卡尔曼滤波递推计算的时候，有可能会发生计算舍入误差过大，破坏卡尔曼滤波算法的计算条件而引起滤波发散的情况。这时，看起来预测误差方差阵渐渐趋近于零，但是实际上滤波结果却和真实值越差越大，完全失去了滤波的作用。
所以，将卡尔曼滤波应用于GPS 动态数据处理和导航计算的时候，必须要结合GPS 定位数据自身的特点，分析会对卡尔曼滤波计算造成影响的各个因素，采用各种针对性地方法，防止滤波发散，提高定位精度。
4.3 卡尔曼滤波器在GPS 定位滤波应用中的问题和改进思路
针对卡尔曼滤波在GPS 定位滤波的应用中出现的各种问题，国内外的众多文献从不同的方面进行了大量的研究工作。下面将简要介绍一些国内外的有代表性的研究成果，因为本论文的研究工作正是在他们的基础之上开展起来的。
4.3.1 对野值的处理
由于量测设备本身或者数据传输等原因，观测序列中会包含某些突发性野值，造成数据处理结果出现很大的误差，必须予以剔除。
文献[2]经分析认为，野值点上的误差与一般观测数据的误差相比，往往在数量级上有很大差异，因此考虑一种基于大数定理的野值修正算法。
其基本思想如下。对于式（4.18）描述的离散时间线性随机系统，进一步将其简化为定常系统：
然而，当观测数据中有野值出现时，必然导致新息序列的平稳特性遭到破坏，上式不再严格成立。据此采用一定的方法可以对野值进行判断和估计。由于野值分量主要通过新息对卡尔曼滤波的精度产生影响，所以只要对出现野值分量时刻的新息进行修正就可以抑制其对于滤波精度的影响。详细证明及算法参见文献[2]。
4.3.2 对状态以及观测噪声方差阵的处理
应用卡尔曼滤波获得最优估值的先决条件之一是，预先知道系统的状态噪声方差阵Q 和观测噪声方差阵R。如果对它们的知识掌握的过于不精确，不仅会影响滤波精度，甚至会造成滤波的发散。很多文献在处理GPS 定位滤波的时候为了方便建模，通常把假定Q 和R 都是定常矩阵。可是，在对于运动的使用GPS 定位的载体来说，随着载体的移动，速度和加速度的变化，Q 和R 理应是时变的。
文献[2]指出，即使对于静止不动的载体来说，系统的观测噪声方差阵R 也是随时间显著变化的。
其实状态噪声方差阵和观测噪声方差阵的时变性这个问题，也是卡尔曼滤波理论在不断发展的过程中遇到的一个重要的问题。有大量的文献针对这个问题，从不同角度，利用不用分析方法和手段做出了各种改进措施和算法。大部分研究成果都是围绕着如何利用当前观测信息和状态估值来更新先验信息。这种思路通
常称为自适应卡尔曼滤波。
在各种工程应用中，针对不同的工程应用背景，已经构造出多种自适应卡尔曼滤波算法。Jazwinski 提出了模型方差自适应补偿法[20],即在卡尔曼滤波过程中,利用观测信息自适应的生成模型误差的协方差镇,是预测残差与相应的统计量保持良好的一致性。Mehra 提出了利用新息序列的自适应估计（Innovation-based Adaptive Estimation，简称IAE）开窗逼近法，即要求观测方程协方差阵及状态误差协方差阵随时自适应与观测信息。这种自适应滤波一般也称为Sage 滤波。它采用前m 步残差序列估计观测向量的血方差阵和状态误差协方差阵。今年来许多学者提出了利用抗差估计自适应的求解观测权阵和状态权阵。
以上介绍的各种自适应滤波方法都是基于不同的工程应用背景而提出的，一般来说都有各自的适用范围，而不是放之四海而皆准的。具体到GPS 动态数据处理领域，必须要考虑到这一应用领域的特点和规律，研究有效的自适应滤波算法。
文献[36]在深入分析了GPS 数据处理的特点的基础上,提出了一种新的Q/R自适应估计方法。该文指出，如果观测量满足平稳随机过程的条件，该方法可以更有效率的给出Q 和R 的估计值，较大大幅度提高GPS 滤波精度，抑制发散。
文献[2]结合GPS 系统模型的特点推导出了差分法Q/R 自适应卡尔曼滤波，根据新的观测量的输入来实时的估计Q 和R 的值。实验结果显示，该方法的得到的滤波精度有明显改善。
4.3.3 对观测噪声和测量噪声的处理
从本文前几章的介绍中可以看到，造成GPS 定位误差的因素有很多种，这些误差大多是随机误差，而且不能认为是零均值白噪声。因此，如果直接套用卡尔曼滤波基本公式，得出的结果不可能是最优的。
对这些误差因素的处理，通常的做法是本着“追根求源”的思想，对各种误差因素分别建立各自的误差模型，再采用相应的改进算法处理。相对基本的卡尔曼滤波算法，这种做法一般能取得相对较好的滤波结果。
例如，文献[23]分析了实测GPS 定位数据的样本函数图形后指出，GPS 定位误差中除含有随机分量外，还可近似的等效的认为含有幅值和相位作随机跃变的周期扰动分量。因此考虑了使用内模原理的推广卡尔曼滤波算法。该方法将未知周期扰动分量的幅值、相位和频率等参数都作为扩展状态变量的一部分，以利用卡尔曼滤波算法对这些未知参数进行实时估计，从而实现对这些参数的跟踪。实验证明，内模自适应滤波算法对于静态和动态定位处理都有较好的抗干扰和跟踪性能。
以上介绍的对于随机误差的处理思想虽然可以取得一定的效果，但是也有很大的弊端。对各种误差因素分别建立模型造成了系统方程过于庞大，且多为非线性模型，观测方程繁杂，状态变量增多，运算量急剧增大，实时性明显降低，且因为模型参数很多，选取困难，降低了滤波算法的实用性。
为了解决这个问题，Chaffee 于1992 年提出了用点估计理论进行GPS 定位数据的动态滤波[27]，从伪距入手，将各种误差因素等效为伪距误差，所设计的滤波器与常用的非线性卡尔曼滤波器比较，鲁棒性较好，且运算量较小。但是估计精度和动态性能却不能令人满意。
文献[26]则直接从GPS 接受几输出的定位结果入手，将各种误差因素的影响等效为定位结果中的一个总的误差，利用现行卡尔曼滤波器进行动态定位数据的处理。大大简化了滤波模型，减少了运算量，并且提高了滤波器的滤波精度和动态性能。
