数字图像处理是图像识别以及其他有关图像应用领域的前提。与本论文有关的数字图像处理技术包括灰度化，边缘提取，直方图均衡化，数学形态学的腐蚀、膨胀、开启和闭合操作，利用Hough变换来检测图像中的直线段等等。
§2.1 图像的灰度化处理
颜色可分为黑白和彩色。黑白颜色是指颜色中不包含任何的彩色的成分，仅由黑色和白色组成。在RGB颜色模型中，如果R = G = B，则颜色（R，G，B）表示一种黑白颜色，其中R = G = B的值叫做灰度值。由彩色转化为灰度的过程称为灰度化处理。灰度化就是使彩色的R、G、B分量相等的过程。由于R、G、B的取值范围是0~255，所以灰度的级别只有256级，即灰度图像只能表现256种颜色。
灰度化处理的方法主要有如下三种：
1、最大值法：使R、G、B的值等于三个值中最大的一个，即：
最大值法会形成亮度很高的灰度图像。
2、平均值法：对R、G、B求出平均值，即：
平均值法会形成比较柔和的灰度图像。
3、加权平均值法：根据重要性或其他指标给R、G、B赋予不同的权值，并使R、G、B它们的值加权，即：
其中，WR、WG、WB分别为R、G、B的权值。WR、WG、WB取不同的值，加权平均值法将形成不同的灰度图像。由于人眼对绿色的敏感度最高，对红色的敏感度次之，对蓝色的敏感度最低，因此使WG >WR>WB将得到比较合理的灰度图像。实验和理论推导证明，当WR=0.30，WG=0.59，WB=0.11时，即：
此时，R、G、B的取值就是该像素的亮度值，此时，得到的灰度图像最合理。
由于灰度图像仅能显示256色灰度级，因此对真彩色DIB（24位）进行灰度化处理时必须首先将它转化为256色位图（8位），对于非真彩色位图，只需将其颜色表中各颜色表项所示的颜色转化为灰度级，然后用得到的灰度级颜色来创建调色板，并用该灰度调色板来处理位图。
由于本论文中所研究的地图图像是8位彩色图像，本论文中应用第三种方法来求地图的灰度图像。因为人眼对彩色图像的亮度的变化特别的敏感，直接取地图图像的亮度值作为其灰度值。
§2.2 灰度直方图
彩色图像的灰度直方图反映一幅图像的总体灰度分布，每幅图像只有唯一的灰度直方图与其相对应。图2.1(a)所示为一幅黑白地图，图2.1(b)是它的灰度直方图。
图2.1
在灰度直方图中，横坐标轴表示灰度值（此时，灰度值已经离散化，范围为0～255），纵坐标表示某一灰度的像素数与整幅图像的像素数的比例，即该灰度级出现的频率，如下式所示：
其中，ng代表灰度级为g的像素数，n代表一幅图像的总的像素数，Ratiog为灰度级g出现的频率。
灰度直方图是反映一幅图像中的灰度级与出现这种灰度级的概率之间的关系的图形。设变量r代表图像中的像素灰度级，在图像中，像素的灰度值可作归一化处理，这样r的值将限定在下述范围内：
在灰度级中，r=0 代表黑，r=1 代表白。对于一幅给定的图像来说，每一个像素取得[0，1]区间内的灰度级是随机的，也就是说r是一个随机变量。假定对每一瞬间它们是连续的随机变量，那么，就可以用概率密度函数pr(r)来表示原始图像的灰度分布。如果用直角坐标系的横轴代表灰度级r，用纵轴代表灰度级的概率密度函数pr(r)，这样就可以针对一幅图像在这个坐标系中作一曲线来。这条曲线在概率论中就是分布密度曲线（见图2.2）
图2.2 图像灰度分布概率密度函数
从图像灰度级的分布可以看出一幅图像的灰度分布特征。例如，从图2.2(a)和图2.2(b)两个灰度密度分布函数可以看出：图2.2(a)对应的图像大多数像素灰度值取在较暗的区域，所以这幅图像背景肯定较暗；而图2.2(b)对应的图像像素灰度值集中在亮区，因此，图像将偏亮。
尽管灰度直方图不能表示出有某灰度级的像素在什么位置，更不能直接显示图像内容，但是具有统计特征的直方图却能描述该图像的灰度分布特征，使人们从中得到的诸如总体明亮程度、对比度和对象物的可分性等与图像质量有关的灰度分布概貌。
§2.3 图像的边缘提取
图像的边缘往往是标明图像中一个物体同另一个物体的分界线，图像边缘对图像识别十分有用。边缘能勾画出目标物体，使观察者一目了然；边缘蕴涵了丰富的内在信息（如方向、阶跃性质、形状等），是图像识别中重要的图像特征之一。从本质上说，图像边缘是图像局部特征不连续性（灰度突变、颜色突变、纹理结构突变等）的反映，它标志着一个区域的终结和另一个区域的开始。
边缘提取首先检测出图像局部特征，然后再将这些不连续的边缘像素连成完备的边界。边缘的特征是沿边缘走向的像素变化平缓，而垂直于边缘方向的像素变化剧烈。所以，从这个意义上说，提取边缘的算法就是检测出符合边缘特征的边缘像素的数学算子。目前，提取边缘常用的算法是边缘算子法、曲面拟合法、模板匹配法。
2.3.1边缘算子法
图2.3是常见的边缘，其灰度变化可能呈阶梯状（图2.3(a)），也可能呈脉冲状（图2.3(b)），对于图2.3(a)和图2.3(b)所示的一阶差分和二阶差分如图2.3(c)、图2.3(e)和 图2.3(d)、图2.3(f)。由图可以看出，对于两种类型的边缘，都能够从差分图像中获得较为精确的边缘。边缘与差分值的关系可以归纳为两种，其一是边缘发生在差分最大值（如图2.3(c)所示）和最小值处（如图2.3(f)所示）；其二是边缘发生在过零点处（图2.3(d)、图2.3(e)）。
图2.3 常见边缘的一阶差分和二阶差分
1、梯度算子
在第一章中讲到，对于一幅图像，我们可以把它表示成一个二维的函数f(x,y)，则在点(x,y)处的梯度是一个向量
，其方向是函数在这点变化率最大的方向，而其长度，即向量的模：
则等于函数f(x,y)的最大变化率。梯度长度是一个标量，并且总是正的。对于数字图像，在点(m,n)处的梯度可写成：
其中：
(2.3.1a)
(2.3.1b)
有时为了避免平方和运算，也可将幅度用用两个分量的绝对值之和或绝对值的最大值来表示，即
或
2、罗伯特(Robert)算子
上面在求(m,n)点的梯度时只用到了f(m,n)，f(m-1,n)及f(m,n-1)的值。事实上，任意一对相互垂直方向上的差分都可用来估计梯度。Robert梯度采用对角方向两相邻像素颜色值之差，即：
(2.3.2a)
(2.3.2b)
有了∇mf，∇nf后，可容易地算出Robert梯度的幅值。Robert梯度实际上是以
为中心的，应当把它看成在这个中心点上连续梯度的近似。从图像处理的时间效果看，用式(2.3.2)的Robert梯度比用式(2.3.1)来检测边缘要好。
3、Laplacian算子
二阶微分算子Laplacian算子也可用来提取图像边缘。在数字图像中，Laplacian算子的一般形式为：
式中，S可以是f(m,n)为中心上、下、左、右4邻点的集合（见图2.4(a)），也可以是8邻点集合（见图2.4(b)），或者是对角线4邻点的集合（见图2.4(c)），图中的黑点表示图像的像素，与之相对应的表达式是式(2.3.3)：
(2.3.3a)
(2.3.3b)
(2.3.3c)
图2.4 Laplacian算子集合
4、Laplacian-Gauss算子
梯度算子和Laplacian算子对噪声都比较敏感。对此，一方面可在运用这两种算子作边缘提取前，先用邻域平均法作平滑处理；另一方面可先用高斯形二维低通滤波器对图像进行滤波，然后再对图像作Laplacian边缘提取，这种方法称为Laplacian-Gauss算子法。二维高斯型低通滤波器的表达式是：
其中x，y是图像的坐标，σ是概率分布函数的标准方差。有时该式子前面还加上一个规范化的因子：
其中的标准方差σ是高斯滤波器的唯一的参数，它同滤波器作用的邻域的大小成正比。像素距离高斯滤波器算子中心越远，对滤波器的影响越小；如果像素距滤波器的中心达3σ的距离，这时像素对滤波器的影响可以忽略不计。
我们已经看到Laplacian 算子∇2f(m,n)得到图像函数的二阶导数，该算子与方向无关。考虑一幅图像经高斯滤波，再经Laplacian算子变换，这个操作可以缩写为LoG (Laplacian of Gaussian)，可以写成如下的卷积形式：
(2.3.4)
由于Laplacian算子是线性的，式（2.3.4）的微分和卷积运算可以相互交换，因此式（2.3.4）也可以写成如下的式子：
(2.3.5)
由于高斯滤波器的二阶导数∇2G同具体的图像无关，因此它可以预先计算，以降低实际应用的复杂度。为了简化，我们以r2=x2+y2表示x2+y2，这里的r就是(x,y)点的像素距高斯滤波器中心的距离，这样的替代是很合理的，因为高斯函数是关于原点成中心对称的，并且从二维的空间变到一维的空间，易于对其进行微分运算：
式的一阶微分：
二阶微分为，即LoG：
我们再返回到x，y坐标，并且引进一个规范化的乘积因子c，于是就得到了LoG算子的卷积模板：
这里的c使得模板元素之和规范为0。LoG的图形状如墨西哥草帽，在实际应用中∇2G可选取如下的5×5模板：
图2.5 的截面图，其中W为主瓣宽度
也可选取比较大的模板，如17×17的模板。所选取的模板窗口尺寸与∇2G的图形的主瓣宽度（∇2G图形截面的两个零点之间的距离，如图2.5所示）有关，窗口模板内的系数和为零。边缘与卷积计算后的零交叉点对应。 图2.6(a)显示出黑白地图，图2.6(b)显示出经LoG算子提取边缘后的二值图像。
图2.6 Laplacian-Gauss算子检测图像的边缘
2.3.2 模板匹配法
模板是为了检测某些区域特征而设计的阵列。设有一个3×3模板窗口W，其元素Wij的位置如图2.7(a)所示，一幅图像F的各元素f(m,n)的位置如图2.7(b)所示。
图2.7 模板W及图像F的各元素
模板匹配的过程是求乘积和的过程：
式中，g(m,n)为边缘检测模板输出，
,L为窗口宽度，对于3×3窗口
。在上述3×3模板的例子中，可以分别把模板阵列W和局部图像堆叠成9维向量
以及
则计算的运算相当于计算两个向量W和F的内积FTW,即：
其中
为两个向量之间的夹角，若|W|=1，则内积就等于投影。因此，可以把g(m,n)的运算称作计算F在W上的投影。下面讨论点、线和边缘的模板。
1、点模板
点模板如图2.8(a)所示，一般用于背景强度恒定、目标图像灰度相同或基本相同的图像（如二值图像）。点模板检测图像区域时，通常是拖动模板在图像移动，横向移动间隔取一个像素，纵向移动间隔取一个扫描行。在每一个位置上，将模板元素分别与相应的图像灰度级相乘并求和（当和小于零时，可作两种处理，一是取绝对值，二是作零处理）。当
时，说明模板位于均衡背景或目标区域内部；当
，表明当前窗口内既有背景又有目标；当模板中心正好是目标和背景的交界处时，
值最大；模板中心离开目标和背景的交界处时，值减小。
图2.8 匹配滤波器模板
2、线模板
线模板如图2.8(b)所示，线模板能有效的检测出线型类图像结构。图2.8(b)中W1、W2、W3、W4分别是0o，45o，90o，－45o四个方向的线模板。当W1、W2、W3、W4在图像域内自上而下、自左向右移动时，在背景灰度级不变、线宽度为1个像素的情况下，W1模板对水平线的响应最佳；W2模板对45o方向的线匹配最好；W3、W4则对垂线和斜线（\）响应最好。
利用线模板对图像作线检测的过程是：对某一给定的窗口，分别计算模板W1、W2、W3、W4的匹配输出，
窗口输出为：
式中
wi,j是线模板系数，对3×3窗口，i,j= -1,0,1。
3、边缘模板
边缘与区域变化相对应。提取边缘经常采用的方法之一是使用某种形式的算子，如上面介绍的基于3×3样本的Laplacian算子和基于2×2样本的梯度。现在把梯度的概念扩展到3×3子集，推出方便简捷的Sobel梯度模板，如图2.9所示。
图2.9 Sobel梯度模板
参照图2.9有：
像点f(m,n)处的边缘提取输出为：
将图2.9和Gj、Gk的计算式相比较，可以发现Gj为图2.9(a)第1列和第3列的差，Gk为图2.9(b)第1行和第3行的差，其中，像素点f(m,n)的4邻点，即
，其位置上的权重等于角上的像点的2倍。当Gj>Gk时，预示着f(m,n)在处在垂直方向的边缘通过，反之，则由水平方向的边缘通过。Gj、Gk是j、k方向上微分算子的估计值。
2.3.3 曲面拟合法
如果说用微分算子进行边缘提取存在“提升噪声”缺陷的话，曲面拟合法可以在完成边缘检出的同时，能较好的抑制噪声的干扰。曲面拟合法的基本思想是用一个平面或曲面去逼近一个图像面积元，然后用这个平面或曲面的梯度代替点的梯度，从而实现边缘的检测。
图2.10 面积元示意图
1、一次曲面拟合
令图像面积元由图2.10(a)的4个相邻像素组成。现用一次平面
去拟合该面积元
上4个相邻像素，即用：
(2.3.6)
为达到最佳吻合，应使均方误差最小。为此，将式（2.3.6）对a、b、c求偏导并令其为零，即：
求解方程(2.3.7)、(2.3.8)、(2.3.9),分别得到a、b、c的值为：
也可进一步表示为：
由式（2.3.10）、（2.3.11）可以看出，a是图2.10(a)4点面积元两行的平均值的差分，b是其两列的平均值的差分。由于这里的差分是建立在平滑的基础上的，所以对噪声就不像直接使用微分算子那样敏感。
因为这个平面是对已知2×2邻域内的图像灰度级的最好近似，故可合理的把平面的梯度看作是该邻域的中心
点出图像梯度的近似值。
2、二次曲面拟合
设检测像素所在的面积元如图2.10(b)所示。用二次曲面去拟合面积元：
并产生均方误差：
同样认为、
之间的均方误差最小，即用
分别对a、b、c、d、e、g求偏导，并令：
从而解得系数a、b、c、d、e、g。再根据式
求得曲面梯度幅度。
§2.4 图像中的直线的检测
对于我们本论文中的研究对象——地图来说，道路的一个很明显的特征是：其边缘是由折线组成。因此，我们可以用Hough变换来检测图像中的直线段。
2.4.1 Hough变换理论描述
Hough变换是一种线描述方法。它可以将笛卡儿坐标的空间的线变换为极坐标空间中的点。 图2.11(a)是笛卡儿坐标中的一条直线，如果用
代表直线距原点的法线距离，
为该法线与x轴的夹角，则可用如下参数方程来表示该直线。这一直线的Hough变换为：
在极坐标中便是图2.11(b)所示的点(
,在极坐标里，横坐标为直线的法向角，纵坐标为笛卡儿坐标原点到直线的法向距离。在笛卡儿坐标系中通过公共点的一簇直线（如图2.11(c)所示），映射到极坐标中便是一个点集,这些点集构成一条曲线，其实这是正弦曲线（图2.11(d)）。因此笛卡儿坐标空间中的一个点对应于极坐标中就是一条正弦曲线。
图2.11 Hough变换的原理
在笛卡儿坐标中共直线的点（如图2.11(e)中的
三点共线)映射到极坐标系便是共点的一簇曲线（图2.11(f)）。在图2.11(f)中还可以看到这三条曲线有两个交点，其实这两个交点的所对应的横坐标值即法向角数值相差180º，对应到笛卡儿坐标里是同一条直线。如果令直线的法向角的取值范围为
，其交点就只有一个了。从图2.11中可以看出，Hough变换使不同的线和点建立了一种对应关系。
2.4.2 Hough变换的性质
从2.4.1节中可总结Hough变换的几点性质如下：
1、(x,y)域中的一点对应于变换域中的一条正弦曲线。
2、变换域中的一点对应于(x,y)域中的一条直线。
3、(x,y)域中一条直线上的n个点对应于变换域中经过一个公共点的n条曲线。这条性质可证明如下：
证明 设
共一条直线，则有
由Hough变换的定义可知，变换域的曲线为
将
代入上式，有：
由此可知，无论
这点，也就是
这一点。
4、变换域中的一条曲线上的n点对应于(x,y)域中过一公共点的n条直线。这条性质可证明如下：
证明 假设变换域中有n点
,在同一条曲线上，则有：
对应于(x,y)域的直线可导出如下：
因为 
所以,
2.4.3 Hough变换的实现
Hough变换的应用可用如下的方法实现：
在(x,y)域中每一离散数据点变换为域中的曲线。将
和
分成许多小段，每一个小段和每个小段构成一个小单元
。对应于每一个小单元可设一累加器（可定义一个二维数组Accumulator）。在(x,y)域中可能落在直线上的每一点对应于变换域中一条曲线
。分别使等于
，便可求出相应的值，并分别计算落在各个小单元的次数，待全部的(x,y)域内数据点变换完后，可对小单元进行检测，这样，落入次数最多的单元（也就是求二维数组Accumulator元素的最大值），说明此点为较多曲线的公共点，而这些曲线对应的(x,y)平面上的点可以认为是共线的。检测出(x,y)平面上n点后，将曲线交点坐标
便可得到逼近n点的直线方程。
2.4.4 Hough变换的特点
Hough变换的一个最大的优点就是其抑制噪声的能力强，它能够提取处在噪声背景中的直线，并且能够把断了的线段连接起来。如图2.12所示，从图2.12(a)中我们可以看出在图像的中部有一条明显的分界线，把两种完全不同的景物分开来。Hough变换前必须对原图像进行一些必要的预处理，如图2.12(b)所示，这些预处理工作包括灰度化，利用Gauss-Laplacian算子对其进行边缘提取，然后再设定一个灰度门限值对图像进行二值化处理，注意图2.12(b)中还有许多噪声点，并且景物分界线变得不连续。
利用Hough变换能够识别与提取出这条分界线，图2.12(c)中的连续直线就是被提取出来的分界线。图2.12(d)是图2.12(b)变换到极坐标中的图像，可以看出该图中有很多的正弦曲线，它们的交点不只一个，不过其中有一个是较多曲线的交点，该点对应的就是图2.12(a)中的分界线。
在这种应用中，变换域小单元
的大小直接影响(x,y)域逼近直线的精度。Hough变换的另一个实用弱点是未考虑点的相邻性，有时得到的最佳逼近直线可能由于邻近的点的影响而产生扭曲。
在本论文中，变换域
的量化单元 
分别取1，可以得到比较好的结果。对于一幅图像，
的取值范围为.jpg){kind=small}
，
的取值范围为：
，w,h分别为图像的宽度和高度。
图2.12 Hough变换能够提取噪声背景中的直线
2.4.5用Hough变换提取图像中的平行线
由于地图中的道路的边缘在局部上是由平行的（或近似平行的）的线段组成，所以应用Hough变换可进一步提取道路的平行的边缘线段，下面是其原理介绍。
设有两条直线方程如下：
如果
,同时
相差不是太小，我们就认为这两条直线平行。我们也可以同时求出这一对平行直线的中心线的方程：
图2.13 用Hough变换求平行线
图2.13示出了利用Hough变换求平行线及其中心线的过程。其中图2.13(a)为(x,y)域一对平行线；图2.13(b)为(x,y)域到
域的Hough变换，图中A,B两点分别代表(x,y)域中的一对平行的直线；图2.13(c)为利用Hough变换识别与提取平行直线后的结果，中间的那条直线就是它们的中心线。
2.4.6 Hough变换的推广
作为Hough变换的推广，可看到如下的一些结果。例如，有一曲线方程为：
(2.3.13)
显然，在椭圆上的每一个点都满足式(2.3.13)。在此式中x,y是变量，A、B、C是系数。如果把式(2.3.13)写成式(2.3.14)的形式，即
这里，把A、B、C看成变量，把x2，y2，看成是系数，那么，在(x,y)域中的任何一点将对应于变换域中的一个曲面。(x,y)域中椭圆上的n点将对应于变换域中n个有共同交点的n个曲面。这一推广可用于园的检测。
§2.5 数学形态学理论
数学形态学（Mathematical Morphology）是一种应用于图像处理和模式识别领域的新的方法。形态学是生物学的一个分支，常用来处理动物和植物的形状和结构。数学形态学是建立在严格的数学理论基础上的科学。用于描述数学形态学的语言是集合论，利用数学形态学对物体几何结构的分析过程就是主客体相互逼近的过程。利用数学形态学的几个基本概念和运算，将结构元素灵活的组合、分解，应用形态变换序列达到分析的目的。
2.5.1 数学形态学的基本概念
在数学意义上，我们用形态学来处理一些图像，用以描述某些区域的形状如边界曲线、骨架结构和凸形外壳。另外，我们也可用形态学技术进行预测和快速处理如形态过滤，形态细化，形态修饰等。而这些处理都是基于一些基本运算实现的。
用于描述形态学的语言是集合论。集合代表图像中物体的形状，例如：在二值图像中所有的黑色像素点的集合就是这幅图像的完整描述。在二值图像中，当前集合是指二维整形空间的成员，集合中的每个元素就是一个二维变量，用(x,y)表示。按规则代表图像中的一个黑色像素点。灰度数字图像可以用三维集合来表示。在这种情况下，集合中每个元素的前两个元素表示像素点的坐标，第三个变量代表离散的灰度值。在更高维的空间集合中可以包括其他的图像属性，如颜色和时间。
形态学运算的质量取决于所选取的结构元素和形态变换。结构元的选择要根据具体情况来确定，而形态运算的选择必须满足一些基本的约束条件。这些约束条件称为图像定量分析的原则。下面列出了数学形态学的几条定量分析原则：
1、平移不变性
设待分析的图像为X，
表示某种图像变换或运算，(X)表示X经变换或运算后的新图像。设h为一矢量，Xh表示将图像X平移一个位移矢量后的结果，那末，平移不变性原则可表示为：
此式说明，图像X先平移然后变换的结果与图像先变换后平移的结果相一致。
2、尺度变换不变性
设缩放因子
是一个正的实常数，表示对图像
所做的相似变换，则尺度变换不变性可表示如下：
如果设图像运算为结构元素B对X的腐蚀（记为B
X），则
对X的腐蚀，则上式具体化为
3、局部知识原理
如果Z是一个图形（闭集），则相对于Z存在另一个闭集Z′,使得对于图形X有下式成立：
可以将Z理解为一个“掩模”。在实际中，观察某一个对象时，每次只能观察一个局部，即某一掩模覆盖的部分
。该原则要求对每种确定的变换或运算
，当掩模Z选定以后，都能找到一个相应的模板Z′,使得通过Z′所观察到的局部性质，即
。
4、半连续原理
在研究一幅图像时，常采用逐步逼近的方法，即对图像X的研究往往需要通过一系列图像
的研究实现，其中诸个Xn逐步逼近Xn。半连续原理要求各种图像变换后应满足这样的性质：对真实图像X的处理结果应包含在对一系列图像Xn的处理结果内。
5、形态运算的基本性质
除了一些特殊情况外，数学形态学处理一般都是不可逆的。实际上，对图像进行重构的思想在该情况下是不恰当的。任何形态处理的目的都是通过变换法去除不感兴趣的信息，保留感兴趣的信息。在形态运算中的几个关键性质如下：
2.5.2 数学形态学的基本定义
集合论是数学形态学的基础，在这里我们首先对集合论的一些基本概念作一总结性的概括介绍。对于形态处理的讨论，我们将从两个最基本的模加处理和模减处理开始。它们是以后大多数形态处理的基础。
1、集合
具有某种性质的确定的有区别的事物的全体。如果某种事物不存在，称为空集。集合常用大写字母A，B，C，
表示，空集用
表示。
设E为一自由空间，
(E)是由集合空间E所构成的幂集，集合
则集合X和B之间只能有以下三种形式（如图2.14所示）：
图2.14 B1击中X，B2相离于X，B3包含于X
2、元素
构成集合的每一个事物称之为元素。元素常用小写字母a，b，c，
表示，应注意的是，任何事物都不是空集的元素。
3、平移转换
设A和B是两个二维集合，A和B中的元素分别是
4、子集
当且仅当集合A的所有元素都属于B时，称A是B的子集。
5、补集
定义集合A的补集为：
6、差集
定义集合A和B的差集为： 
7、映像
定义集合
的映像为，定义为： 
8、并集
由A和B的所有元素组成的集合称为A和B的并集。
9、交集
由A和B的公共元素组成的集合称为A和B的交集。
2.5.3二值形态学的基本运算
1、腐蚀(Erosion)
集合A被集合B腐蚀，表示为A
B，其定义为
(2.5.1)
其中A为输入图像，B称为结构元素。AB由将B平移x但仍包含在A内的所有点x组成。如果将B看做为模板，那么，AB则由在平移模板的过程中，所有可以填入A内部的模板的原点组成。如果模板原点在结构元素的内部，那么，腐蚀具有收缩输入图像的作用。
腐蚀除了可以用式(2.5.1)填充形式的方程定义外，还有一个更重要的表达式：
这里腐蚀可以通过将输入的图像平移-b（b属于结构元素），并计算所有平移的交集而得到。
3、膨胀(Dilation)
膨胀是腐蚀运算的对偶运算（逆运算），可以通过对补集的腐蚀来定义。集合A被集合B膨胀表示为 A
B，其定义为：
其中，Ac表示A的补集。为了利用B膨胀A，可将B相对于原点旋转180°得到-B，再利用-B对Ac进行腐蚀。腐蚀结果的补集便是所求的结果。因为膨胀是利用结构元素对图像补集进行填充，因而它表示对图像外部作滤波处理。而腐蚀则表示对图像内部作滤波处理。腐蚀与膨胀的另一个不同点，是膨胀满足交换律：
关于膨胀，还有一个等效的方程：
(2.5.2)
因而，膨胀可以通过相对结构元素的所有点平移输入图像，然后计算其并集得到，因为膨胀满足交换律，方程还可写成：
(2.5.3)
方程(2.5.3)对于分析膨胀的性质非常有用。但是，由于要对一幅输入图像的所有点作平移运算，因而计算量很大。与此相对，方程(2.5.2)仅需对结构元素中的所有点作平移，故运算量要小。
4、开运算(Open)
图像B对A作开运算，用符号A
B表示，其定义为：
为了更好的理解开运算，有下面的等价方程：
这个方程表明，开运算可以通过计算所有可以填入图像内部结构元素平移的并求得，即对每一个可填入位置作标记，计算结构元素平移到每一个标记位置时的并，便可得到开运算的结果。事实上，这正是先作腐蚀，后膨胀的结果。
5、闭运算(Close)
闭运算是开运算的对偶运算，定义为先作膨胀后作腐蚀。利用B对A作闭运算，表示为A•B，其定义为：
因为闭为开的对偶运算，所以满足以下的关系：
同时，开也为闭的对偶运算：
6、击中击不中变换(HMT)
在图像分析中，同时探测图像的内部和外部，而不仅仅局限于探测图像的内部或外部，对于研究图像中物体与背景之间的关系，往往会得到很好的结果。击中击不中变换即可达到此目的。
当利用结构元素腐蚀一幅图像时，腐蚀的过程相当于可以填入结构元素的位置作标记的过程。虽然标记点取决于原点在结构元素的相对位置，但输出图像的形状则与此相关。这是因为改变原点的位置，仅仅会导致输出结果发生平移。同样的结论也适合于腐蚀的对偶运算——膨胀。膨胀时对图像补集作腐蚀运算所得到结果的补集。
击中击不中变换在一次运算中同时可以捕获到内部标记。击中击不中需要两个结构元素E和F，这两个结构元素被做为一个结构元素对B=(E,F)，一个探测图像内部，另一个探测图像外部，其定义为：
(2.5.4)
当且仅当E平移到某一点时可填如A的内部，F平移到该点时可填入A的外部时，该点才在击中击不中变换后输出中。显然，E和F应当是不相连接的，即
,否则，便不可能存在两个结构元素同时填入的情况。因为击中击不中变换是通过将结构元素填入图像及其补集完成运算的，故它通过结构元素对（简称结构对）探测图像和其补集之间的关系。根据腐蚀的定义式(2.5.1)，式(2.5.4)还可表示为：
(2.5.5)
若F取空集，条件
恒得到满足，则(2.5.5)变为：
故腐蚀可以看作击中击不中的一个特例。
2.5.4 灰度形态学的基本运算
1、灰度形态学膨胀
上面针对二值图像的形态学处理的基本运算作了总结，这些基本运算可以方便的推广到灰度图像的处理。与前面二值图像形态学处理理论不同的是在下面的讨论中我们将处理数字图像函数而不是集合。设f(x,y)是输入图像，b(x,y)是结构元素，它可被看作是一个子图像函数。如果Z表示实整数的集合，同时假设(x,y)是来自Z×Z的整数，f和b是对坐标为(x,y)像素灰度值的函数（来自实数集R的实数）。如果灰度也是整数，则Z可由整数R所代替。
函数b对函数f进行灰度膨胀可定义f
b，运算式如下：
其中，Df和Db分别是函数f和b的定义域，b是形态处理的结构元素，位移参数(s-x)和(t-y)必须包含在函数f的定义域内，此时它模仿二值膨胀运算定义。在这里两个集合必须至少有一个元素相交叠。还可以注意到，上式非常类似于二维卷积公式，同时，在这里用“最大”代替卷积求和并以“相加”代替相乘。
由于本操作是由结构元素形状定义的邻域中选择f+b的最大值，因而通常对灰度图像的膨胀处理方法可得到两种结果：（1）如果所有的结构元素都为正，则输出图像将趋向比输入图像亮；（2）黑色细节减少或去除取决于在膨胀操作中结构元素相关的值和形状。
2、灰度形态学腐蚀
灰度形态学腐蚀定义为，其运算公式为 f
b
公式中Df和Db分别是f和b的定义域。平移参数(s+x)和(t+y)必须包含在f的定义域内，与二值腐蚀的定义类似，所有的结构元素将完全包含在与被腐蚀的集合内，还应注意到上式与二维相关公式相似，只是用“最小”取代求和，用“减法”代替乘积。
不同于二值腐蚀定义，操作中是f在平移，而不是结构元素b在平移。
正如上式所示，腐蚀是在结构元素定义的领域内选择(f-b)的最小值，因而，通常对灰度图像的腐蚀处理可得到两种结果：（1）如果所有的结构元素都为正，则输出图像将趋向比输入图像暗；（2）在比结构元素还小的区域中的明亮细节经腐蚀处理后其效果将减弱。减弱的程度取决于环绕亮度区域的灰度值以及结构元素自身的形状和幅值。
3、灰度形态学梯度
膨胀和腐蚀处理常用于计算图像的形态梯度，梯度用
表示，则
先对图像进行形态学膨胀操作然后减去形态学腐蚀所得的结果。
2.5.5灰度形态学实例
图2.15示出灰度形态学算子应用于图像处理的示例。图2.15(a)为原图像，图2.15(b)为膨胀后的结果，可以看出，对原图施行灰度形态学膨胀操作后，图像变亮了，而且黑色的细节信息减少或去除了。图2.15(c)为对原图施行灰度形态学腐蚀后结果，图像比原图变黑了，而且明亮的细节减少或去除了。图2.15(d)为灰度形态学梯度的结果，可以看出原图像经过形态学梯度处理，图像更加尖锐，而且运用对称结构元素获得的形态学梯度将较少受边缘方向的影响。
图2.15灰度形态学实例
