stupid的博客

这 篇 文 章 的 目 的 是 要 指 出 著 名 的 荷 兰 艺 术 家 埃 舍 尔（ M.C.Escher ） （ 1898-1972 ） 名 为 “ 圆 形 极 限 IV ”（Circle Limit IV）（木版画，1960年创作）的艺术作品和由美国工程师P.H. Smith（1905-1987）所制作的在微波工程中最常用的被称为“史密斯圆图”的图形工具这两者之间在概念上的联系。埃舍尔的艺术作品和史密斯圆图的基础均可追溯到复数范畴内的莫比斯（Möbius）变换下的四个复数交比的不变性。当使用双曲空间内的庞加莱（Poincare）的开放圆模型的交比不变所产生的双曲距离来测量时，就可以发现埃舍尔作品中视觉上不同的几何图形具有方瓦一样固定的尺寸和周期。史密斯圆图可以用来帮助构建其它具有周期性瓦片镶嵌图形的具有埃舍尔风格的绘画，并且同时在单位圆中传递无限递增的感觉。

Phillip Smith

媒体眼中的一位工程师的公众形象是，工程师们无论从个人还是职业角度来说，是非常欣赏，参与，影响，启发和激励艺术发展的。这正是我们所希望的，因为工程与艺术一样，需要创造性，受过良好的训练，关注细节，有敏感的知觉。在技术和艺术
之间充满活力的界面是由许多美好的，有创造性的艺术作品体现出来的，包括音乐，戏剧，摄影，雕塑，油画[1]-[3]。本文指出另一种几乎无人知晓的存在于艺术和工程工具之间的关系，具体说就是将埃舍尔的一些木版画与在微波界被广泛使用的史密斯圆图相联系起来的对
应关系。读者可以用它来增加对艺术的鉴赏能力，激发非专业人员对微波技术的兴趣，或者自己创作具有埃舍尔风格的艺术作品。

工程师们无论从个人还是职业角度上说，是非常欣赏，参与，影响，启发和激励艺术发展的。

木版画圆形极限 IV（图 4）和其它这类作品都具有以上两个特性 - 在瓦片的每一次重复中，重复的图形产生连续的变换，周期会逐渐缩小。因此，这类作品必须同时有两种变换。对于圆形极限IV 来说，重复单元仅有的变换，如天使图案，是一种旋转。每个图形单元的尺寸和位移的转换更多，这将是我们下面需要进行仔细研究的主题。

图 4 埃舍尔的木版画，题为“天堂和地域”，也被称为“圆形极限 IV”（1960 年 7 月），随着史密斯圆图的VSWR 标尺被放入单位圆中.

埃舍尔的圆形极限 IV 和史密斯圆图

史密斯圆图有可能提供埃舍尔图形艺术线索的原因在于史密斯圆图能够提供径向比例度。在读取具有不同单位的反射系数，回波损耗，驻波比时，有一个比例尺是将电压驻波比（VSWR）用 dB 来表示，从史密斯圆图的中心为零一直延伸到圆周上为∞。这个范围正好对应了埃舍尔试图用图形方式表达无限性的需求。为了对这个想法进行初步的测试，我们对圆形极限IV 进行了以下简单的测量。图上大多数天使从视觉上来说是不对称的，而那些具有双边对称的天使的对称轴都是通过圆心的。双边对称天使的高度（定义为从头部到脚的径向距离）可以通过测量两端对原点的径向距离，从而计算出两个径向作标之差的幅值而得到。如果我们改变圆形极限 IV的比例使之正好能放入史密斯圆图中，并且借助于用 dB 表示 VSWR 的比例尺来测量点的径向距离，则可得到表 1 的结果。我们发现所有的具有双向对称性的天使的高度都是 8dB。这个结果促使我们猜想圆形极限 IV 中的图形是全等的，并且希望类似于密斯圆图这样的工程工具可以帮助我们理解美学艺术作品。要证明那些没有双向对称性的天使同样是全等的，则需要进行更详细的分析。VSWR 只能让我们测量单位圆中通过圆心的径向距离。要测量单位圆内任意两点 Γ1和 Γ2之间的距离，我们必须要观察史密斯圆图中的 VSWR 的几何中心。正如随后将要指出的，这种测量距离的一般性方法在微波工程中已经用得很多了。


史密斯圆图最初是用来作为图形工具以避免复数的繁琐运算的

史密斯圆图（图 5）已成为微波工程的一个肖像。例如，它经常用于设计标识，并且是微波课程中在过了几十年后最容易被记住的部分，而课堂上所学的其它东西都被遗忘了。史密斯圆图最初是用来避免进行复数的繁琐运算的[13]，[14]。虽然从 1960 年出现了电子计算机后，不再需要这样做了，但史密斯圆图仍然在对信息进行直观的表达和理解上起着很大的作用。在过去的许多年中，已经提出了许多对图形进行扩展和应用的建议[15]， 对于那些要开发直观感觉的职业工作者来说，那些有助于思考（而不仅仅是计算）的应用还在继续起着作用。史密斯圆图在微波工程师的概念中是根深蒂固的，所以在现代计算机辅助软件和计算机微波测量仪器的控制中，虽然它们具有强大的和进行极其复杂运算的能力，但仍要将结果显示在史密斯圆图上。


图 5 带 有 径 向 标 尺 的 史 密斯 圆 图 （ 经 由 Analog Instrument Co.同意）


复平面的莫比斯变换在艺术和微波工程中具有一些有用的特性

构建史密斯圆图是为了完成两个基本任务：
1） 用参考阻抗和对应的归一化阻抗 Z/Z0所定义的反射系数：

通过将定义的参考平面沿着特性阻抗为Z0，传输常数γ=jβ的均匀传输线进行移动，当移动距离为l12时，对 Γ 和 Z 进行变换：

在史密斯圆图上完成第1 个任务的过程是：1）在平面上画出极坐标来标出 Γ，被限制在单位圆内（即，无源单端口的 Γ 值）；2）在另一个变形的平面中，画出迪卡尔坐标线来表示Z/Z0，限制在图的右半边（同样是对应于无源单端口）；3）改变笛卡尔坐标系的形状，使得当两个坐标系叠加时，一个坐标系中的点与另一坐标系中的映射点完全吻合。第 2 个任务通过将 Γ 旋转一个角度2Im[γ]l12即可完成，只需要在极坐标系中以1/λ 为单位来重新标识角度的值。因为在这两个任务中，每个任务只不过是莫比斯的双曲复数变换的例子而已，我们或许可以说史密斯圆图是进行莫比斯变换的图形工具。

莫比斯双线性变换

莫比斯变换在实际的微波工作中是无处不在的。我们所要求或所需要的用来定义 Z 或 Γ 的参考平面通常与能方便，准确地测量或计算所使用的平面是不同的；这其中的原因包括无法进入求的平面来进行测量，在平面内没有可供使用的参考标准套件，由于结构的复杂性而造成的多模场或与平面的耦合。因此，经常需要对两个参考平面的阻抗或反射系数进行变换，或进行参量提取。
两个参考平面之间的电磁场结构的干扰通常可通过线性二端口网络来表征，在频域中用的是阻抗矩阵[Z]或散射矩阵[S]。任意线性二端口网络的响应函数（如反射系数或阻抗）的转换可表达为：

每一个变换都是莫比斯复数变换的例子。复数 Z 的莫比斯双线性（分数化线性）变换定义如下：

其中 A，B，C，D 是复数形式的常数（与 Z 无关的）。可以通过在基本定义中增加一些另外的要求来以更加紧凑的形式说明这种变换的特性：
1） M(∞) ≡ A/C ，和 M(-D/C) ≡ ∞，这使得我们可以通过将 Z=∞包括进来将复平面进行扩展来说明变换的域和范围，使得莫比斯变换异质同晶。
2） AD – BC ≠ 0，这使得我们可以通过将每个常数A，B，C 和 D 来除以AD – BC 进行归一化而不改变变换的性质。复平面的莫比斯变换有几个有用的特性[16]，在艺术和微波工程中都非常有用[17]，[18]。这些特性可以用几种不同的语言来描述，例如，代数方法，矩阵形式，几何学，拓扑学等等。鉴于需要将这些与埃舍尔的绘画作品相联系，采用几何学的方法是最有用的。


莫比斯变换的几何特性
莫比斯变换是将一个复数 Z 映射变换为另一个复数 W，这两个复数都需要一个二维平面的点来表达其几何位置。Z-平面上的一条曲线 Cz 便是一组点，其中的每一个点通过莫比斯变换成为 W-平面的一个点，在 W-平面的这一组经过变换的点便组成了另一条曲线 Cw；这个过程可以称为是曲线的变换。这种变换保留了曲线的特定的性质，我们所感兴趣的正是 Cz 和 Cw 所共有的不变量。
为了将复平面的这种变换形象化，考虑莫比斯变换式（4）中所对应的一些特殊情况可能会有所帮助。

平移：W = Z + B （其中 A = D = 1；C = 0）
按比例变化：W = |A| Z（其中 B = C = 0；D = 1；A 为正实数）
旋转：W = Z exp(j∟A)（其中 B = C = 0；D = 1；|A| = 1）
倒数：W = 1/Z（其中，A = 0；B = C = 1；D = 0）

前三种情况下的曲线的几何效应可以用一种很直接的方式来进行形象化表示；最后一种情况的操作可以被看作是单位圆的反射。这几种特殊情况的用途在于它们是莫比斯变换的构建模块，莫比斯变换可以看成是这些基本变换的组合；因此，（4）式中的 W 可以通过以下这些变换的顺序来实现：

史密斯圆图是进行莫比斯变换的图形工具

Z -> CZ -> CZ + D -> 1/(CZ + D)
-> [(BC –AD)/C]/(CZ + D)
-> [(BC – AD)/C]/(CZ + D) + (A/C)
= (AZ + B)/(CZ + D) = W.

复平面中曲线的莫比斯变换有以下几个很有用的特性，其中的 3 个是与我们这里所讲述的例子相关的。变换将 Z-平面的圆（以及作为圆的特例的直线）映射为 W-平面的圆。（因此，史密斯圆图中的直线代表的是 Re[Z]和 Im[Z]为常数的曲线通过(1)进行的莫比斯变换）。变换是保角变换，意味着 Z-平面上两条曲线 Cz1和 Cz2的角度（定义为它们相交之处的角的正切）在变换到 W-平面后的角度保持不变，幅值和符号均不变。通过选择合适的距离度量，Z-平面中两点Z1和Z2 之间的最短线段的距离与它们在映像 W1 和 W2之间距离是相同的，欧几里德距离度量不属于这种类型。
这些特性的证明，例子和应用可以在文献[16]和[19]的援引中以及其它地方找到。很明显，前两个特性有助于在进行变换后仍然保持可以识别的形状，而第三个特性提供了一个欧几里德平面的比例，在欧几里德几何中，距离不是不变量。这些便是在“由变换而组成的镶嵌结构”中所提到的两种基本要求来生成代表无限性的镶嵌图案的构建方法。我们要集中在第三个特性和不变量所需要的距离度量来理解埃舍尔作品中的距离和尺寸的比例。

原文很长，仅为节选，有兴趣，请继续阅读：
http://www.mtt.org/dl/index.php?C13_Gupta.pdf