复数最直观的理解就是旋转!

4*i*i = -4

就是“4”在数轴上旋转了 180 度。

那么 4*i 就是旋转了 90 度。

 

另外,e^t 是什么样呢?

 

 

但当你在指数上加上 i 之后呢?

 

 

变成了一个螺旋线。是不是和电磁场很像?(想拿欧拉公式去跟女生炫学术的男生注意了:她们,真的,不 CARE)

当然,更重要的意义在于复数运算保留了二维信息。

 

假如我让你计算 3+5,虽然你可以轻松的计算出 8,但是如果让你分解 8 你会有无数种分解的方法,3 和 5 原始在各自维度上的信息被覆盖了。

 

但是计算 3+5i 的话,你依然可以分解出实部和虚部,就像上图那样。

 

基于以上两个理由,用复数来描述电场与磁场简直完美到爆棚!

 

我们即可以让电场强度与复数磁场强度相加而不损失各自的信息,又满足了电场与磁场 90 度垂直的要求。另外,一旦我们需要让任何一个场旋转 90 度,只要乘一个“i”就可以了

 

 

补充一点:

正弦波在频域可以看作是自然数中的“1”,可以构成其他数字的基础元素。当你需要 5 的时候,你可以看成是 1*5(基础元素的五倍)也看以看成 2+3(一个基础元素 2 倍与基础元素 3 倍的和)。这些用基础元素构成新元素的运算是线性运算。

 

但是现在你如何用线性运算吧 2sin(wt)变换成 4sin(wt+pi/6)呢?

 

利用欧拉公式,我们可以将任何一个正弦波看作其在实轴上的投影。假如两个不同的正弦波,可以用数学表达为:

 

 

好了,现在如果我想用第一个正弦波利用线性变换为第二个,我们就只需要将 A 乘对应的系数使其放大至 B(本例为乘 2),然后将θ1 加上一定的角度使其变为θ2(本例为加 30 度),然后将得到的第二个虚数重新投影回实轴,就完成了在实数中完全无法做到的变换。


这种利用复指数来计算正弦波的方法也对电磁波极其适用,因为电磁波都是正弦波,当我们需要一个电磁波在时间上延迟 / 提前,或是在空间上前移 / 后移,只需要乘一个复指数就可以完成对相位的调整了。