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傅里叶变换是一种在各个领域都经常使用的数学工具。这个网站将为你介绍傅里叶变换能干什么,为什么傅里叶变换非常有用,以及你如何利用傅里叶变换干漂亮的事。就像下面这样:

 

漫画与谐波分解

 

我将为你解释这个动画是如何工作的,沿途为你详细地解释傅里叶变换!

 

这次旅途结束后,你将会掌握下面这些知识:

  • 什么是傅里叶变换傅里叶变换的一些实际用途傅立叶变换的一些很酷的用法(虽然有些没有实际意义)

 

我们现在暂时不提那些复杂的数学公式。傅里叶背后的数学原理十分有趣,但最好还是先从它的实际应用开始,以及为什么要使用它。如果你想了解更多,下面提供了一些进一步的阅读建议!

 

傅里叶变换是什么

 

简而言之,傅里叶变换把一个输入信号分解成一堆正弦波的叠加。就像大多数数学方法一样,这个名字来自一个名叫傅立叶的人。

 

让我们从一些简单的例子开始,然后继续前进。首先,我们来看看什么是波 —— 波随着时间的推移,一直按照某一规律变化。

 

这是一个波的例子:

 

周期波形示例

 

这个波可以分解为两个正弦波的叠加。也就是说,当我们将两个正弦波相加时,就会得到原来的波。

 

简单周期波形拆分成两个正弦波的叠加

 

傅里叶变换可以让我们从一个复杂的波形里面,把构成这个波的单个正弦波分离出来。在这个例子中,你几乎可以通过“脑补”完成这一操作。

 

为什么?事实证明,现实世界中的许多事物间的互相交互,都是基于正弦波。我们通常将这种波的快慢的性质,称为波的频率。

 

最明显的例子就是声音 —— 当我们听到声音时,我们听不到那条波浪线,但我们听到构成声音的正弦波的不同频率。

 

能够在计算机上区分这两个音调,我们就可以了解一个人实际可以听到的内容。我们可以理解声音的高低,或弄清楚这个波包含了什么音符。

一些波看起来不像由正弦波构成,我们也可以用这个分解的过程来进行分析。

 

我们来看看这个家伙吧。这个波称为方波。

 

方波周期波形

 

虽然看起来不太可能,但它确实也可以分解成正弦波。

 

方波内的正弦波分解

 

这次我们需要很多 —— 理论上是无限多的正弦波来完美地表达一个方波。随着我们加入越来越多的正弦波,叠加出的波形就越来越接近方波。

 

有限个谐波合成方波

 

在视觉上,你会注意到前几个正弦波的叠加可以在结果中产生最大差异。滑块滑到一半时,就有一些方波的样子了,但它看起来摇摆不定。加上更多小的正弦波,组合出的波形看起来就平坦了。

 

当播放这个波形时,你会发现使用的正弦波少时,声音听起来更低沉一些。这是因为我们把高频率的成分去掉了。

 

这一过程可以用来处理任何有周期的波。试一试,画一个你喜欢的波形吧。

 

手工绘制任意波形进行傅里叶级数分解

 

和上一个方波类似,除了有些额外的摆动之外,滑块移动到中间位置,生成的波形就很接近你画的了。

 

我们可以利用这个事实:使用傅里叶变换,我们可以把音频中最重要的成分表达出来,并且得到和原始声音非常接近的波形。

 

在计算机中,波形以一系列数据点的形式来存储。

 

波形存储的数据点形式

 

我们可以做的是,将声音表示为一堆正弦波。然后可以通过忽略掉较小幅度的高频成分来压缩声音。尽管得出的波形与原始波形不一样,但是听起来将会和原始声音很接近。

 

声波中不同频率分量

 

这基本上就是 MP3 做的事情。MP3 除此之外还可以更聪明地知道需要保留哪些频率以及扔掉哪些频率。

 

所以在这种情况下,我们可以使用傅里叶变换来理解波的基本属性,然后我们可以将它用于数据的压缩之类的事情。

 

好的,现在让我们深入了解傅立叶变换。下一部分看起来很酷,也让你更加了解傅立叶变换的作用。但大多只是“看起来”很酷。

 

周转圆

 

在开始时,我介绍了傅里叶变换可以将事物分成正弦波。但更酷的是,它产生的正弦波不仅仅是一般的正弦波,它们都是“三维”的正弦波。你可以称之为“复杂的”正弦曲线,或者,“螺旋”。

 

正弦螺旋线

 

如果我们从侧面看,它们看起来像正弦波。但是,从正面看,它们看起来像圆圈。

 

不同角度观看螺旋线

 

到目前为止,我们所做的一切只需要常规的 2D 正弦波。当我们对 2D 波进行傅里叶变换时,“复杂的”部分被忽略了,所以我们最终也只能得到正弦波。

 

但是我们可以使用 3D 正弦波来制作看起来很有趣的东西,就像这个:

 

3D 正弦波绘制 Yeah

 

这里发生了什么事情呢?

 

我们可以将一个手绘图理解为一个 3D 的形状,因为点的位置在随时间移动。如果你想象一个人正在绘制一只手,那么这三个维度就代表了某一时刻铅笔尖的位置。除了 x 和 y 维度告诉我们笔尖的位置,还有一个时间维度。

 

多了时间维度的 3D 形状

 

现在我们有一个 3D 的形状,我们不能使用常规 2D 正弦波把它表示出来。无论我们添加多少 2D 正弦波,我们都永远不会得到 3D。所以我们需要些别的东西。

 

我们可以使用的是之前的 3D 螺旋正弦波。如果我们添加很多这些螺旋,得到的东西就看起来像我们的 3D 形状。

 

请记住,当我们从前面看它们时,这些波浪看起来像圆圈。围绕另一个圆圈移动的圆圈图案,被称为“周转圆”。

 

不同谐波叠加后的 3D 图形

 

像以前一样,我们只用几个圆圈就可以很好地近似表达出原始图案。因为这是一个相当简单的形状,所有后面添加的小圆都是使边缘更加锐利。

 

这些适用于任何一个图案。真的,现在你创作的机会来了。

 

任意形状的谐波分解

 

同样,你会发现,对于大多数形状,我们可以用很少的圆圈很好地近似表达它们,要保存一个形状,我们不必保存形状上所有的点。

 

这个方法可以应用于实际数据吗?答案是可以!实际上,我们有另一种称为 SVG 的数据格式,比我们在这里绘制图案更好用一些。所以目前,我们只是制作了些炫酷的小 GIF。

 

FOURIERTRANSFORMS

 

然而,还有另一种类型的视觉数据使用傅里叶变换。

 

JPEGs

 

你知道傅立叶变换除了可以表达简单的手绘线条,还可以用于图像吗?事实上,我们一直都在使用它,因为这就是 JPEG 的工作原理!我们将相同的原理应用于图像 —— 将某些东西分成一堆正弦波,然后只存储重要的东西。

 

要处理图像,我们需要一种不同类型的正弦波。我们需要这样的一种“正弦波”:无论我们有什么样的图像,我们都可以添加一堆这些正弦波来回到原始图像。

 

要做到这一点,我们使用的每个正弦波也将是一个个小图像。我们现在使用一些黑白条纹的小图像,这些更可以表达为“线”,而不是波。为了表示“波”的大小,每个图像将具有或多或少的明暗对比。

 

我们也可以以类似的方式表示出颜色,但我们先从灰度图像开始玩。为了表示灰度图像,我们需要一些水平的波图案,还有一些垂直的波图案。

 

水平和垂直波形图

水平和垂直图像相乘

 

要得到一个 8x8 分辨率的图像,这里是我们需要的所有小图案。

 

8×8 图像模块

 

如果我们把这些小图案的对比度调整到适当的值,然后将它们相加,我们就可以得出任意图像。

 

让我们从一个字母"A"开始。它非常小,但我们需要它很小,否则我们最终会得到太多其他的图像。

字母 A

 

随着我们添加越来越多的这些图案,我们最终得到的东西越来越接近实际图像。我觉得你只要添加很少一部分图案,就能看出字母“A”的样子来。

 

字母 A 不同频率展开

 

对于实际的 JPEG 图像来说,这就是基本原理,剩下的只有一些额外的细节。

 

图像被分解为 8x8 块,每个块分别进行分解。我们使用一组频率来确定每个像素的亮度或暗度,然后是另外两组用于颜色,一组用于红绿色,另一组用于蓝黄色。我们为每个块使用的频率个数决定了 JPEG 图像的品质。

 

这是一个实际的 JPEG 图像,放大后我们可以看到细节。当我们改变 JPEG 品质水平时,可以观察出画质的区别。

 

实际 JPEG 图片

 

总结

 

让我们回顾一下:

  • 傅里叶变换让我们输入一个事物,并将其分解为不同频率的成分频率告诉我们有关数据的一些基本属性并且可以通过仅存储重要的成分来压缩数据我们还可以用傅里叶变换的原理,通过一堆圆圈制作看起来很酷的动画

 

这只是表面上的一些浅层次应用。傅里叶变换是一个非常强大的工具,因为将事物分解成不同频率是十分重要的分析方法。它们被用于许多领域,包括电路设计,移动网络信号,磁共振成像(MRI)和量子物理!

 

一些问题

 

我在这里跳过了大部分的数学原理。如果你对它的数学原理很感兴趣,可以用以下这些问题来帮助你研究:

  • 你如何在数学上表示傅里叶变换?连续时间傅立叶变换和离散时间傅立叶变换之间有什么区别?你如何计算傅里叶变换?你如何对整首歌曲进行傅里叶变换?(不仅仅是单个音符)

 

拓展阅读

要了解更多信息,你可以看看这些非常好的资源(作者推荐的这些资源是英文版的)。

 

An Interactive Guide To The Fourier Transform 从数学角度更加深刻地介绍傅里叶变换。

 

But what is the Fourier Transform?  A visual introduction. 3Blue1Brown 制作的 YouTube 视频,从音频的角度解释傅里叶变换的数学原理。

 

A Tale of Math & Art: Creating the Fourier Series Harmonic Circles Visualization 另一篇不错的文章,从线性代数的角度解释如何用周转圆来画出形状。

 

Fourier transform (Wikipedia) 当然,维基百科的解释也很不错。

 

傅里叶变换(维基百科) 译者为你添加了中文维基的链接。