今天下午课程中讲授傅里叶变换性质部分内容,这应该是“信号与系统分析”课程中最为核心的重要内容部分。往往由于傅里叶变换性质众多,内涵丰富,应用广泛,也成为学生学习过程中的难点。

 

▲ 课间同学们在试做作业预留的练习题

 

昨天备课的时候一直在思考,如何能够将傅里叶变换性质的讲解内容进行恰当的引入,想起了在一年之前发送的推文“ 数学中的虚幻模式[1] ”,其中介绍了由数学家Borwein 父子发现的一种数学中虚幻模式现象,即数学规律突然消失的情况。

 

▲ David Borwein

 

一个典型的虚幻模式是针对与如下级数信号相乘结果的面积求解问题:

 

如果仅仅讨论的面积,求解还是比较方便,它的面积为。但是求解上述信号乘积之后的面积则相对比较复杂。

 

下图显示了前两项信号相乘之后的波形。如果通过数值计算,可以验证,这个波形的面积仍然严格为。

 

▲ sinc(t),sinc(t/3)信号相乘之后的波形

 

随着相乘的信号项数增加,乘积结果信号逐步发生变化,变化幅度 越来越小。从波形上来看,整个乘积函数逐步收敛于一个固定函数。当年Borwein定义了乘积函数的积分为如下:

 

 

它被称为Borwein积分,它反映了乘积函数的面积。

 

求解上述面积非常困难,数学家借助于数值计算逐步求解上面的积分,就会发现一个令人困惑的现象:当函数的乘积项N等于1至7的时候,积分的数值In始终都精确的等于π。但是当N=8的时候,虽然看起来整个函数图像与前面很相似,但结果却不在严格等于π了,而是稍微变小了,大约小了0.0000000001(9个0,1个1)。

 

上面这种数学模型的突变,的确会使人感到困惑。除了它之外,还有更长的数学虚幻模式,比如下面的积分,当小于56的时候,都严格等于,直到大于等于57,就开始变小。

 

 

对于这样的数学虚幻模式的解释,从傅里叶变换的角度,需要使用到相应的尺度特性、频移特性、卷积特性等等。并且在近期发表的《物理评论快报》上的 Satya N. Jajumda还对其使用统计物理学中的随机 游走的概念进行解释,因此使用该数学虚幻模式来引入傅里叶变换性质的讲解比较有趣。详细的讨论可以参见博文数学中的虚幻模式[1]。

 

▲ 课程中学生们正在通过微信思考作业练习题

 

在课程一开始,讲述了信号乘积面积求解的问题,并指出前七向乘积的结果面积都严格等于。为了提起大家好奇心,对于前八项乘积信号的面积是多少做成一个选择题,请同学们凭借自己的直觉进行判断,并将猜测通过公众号打在公屏上。

 

下面显示出只有八位同学猜对了答案。

 

▲ 故事之后引入的现场讨论题

 

也许这种与直接相悖的结论,更能激起那些学习比较认真自负学生们的兴趣。希望他们能够在周五完整学习完傅里叶变换性质之后,能够对于本文中所给出的Borwein积分对应的所展示的数学虚幻模式能够自行进行分析。

 

▲ 课堂上,同学们通过公众号将自己的直觉答案打在公屏上

 

参考资料

[1]数学中的虚幻模式: https://zhuoqing.blog.csdn.net/article/details/104134302

 

最后,给公众号的同学们说一声,本学期周二下午,周五上午我的大班课程需要用到公众号,在这两个半天期间大家尽量不要在公众号留言提问。否则你们的提问飘过我的课堂公屏,我怕HOLD不住课堂气氛。