在工作中,我们最佩服的一群人就是那种只用“纸和笔”就能把问题说清楚甚至解决的人,这需要超强的理论基础以及模型抽象能力——一言不合就上公式,简单、粗暴、有效。

今天,我们也来看看如何通过简单“写写画画”来设计一个FIR滤波器。

滤波器的概念相比大家都很熟悉了,一般按照频率特性可以分为低通、高通、带通及带阻滤波器,这是从输出特性来说的。

图源:知乎

(以下均为来源知乎)

设计常规滤波器的时候,我们一般采用另外一种分类,FIR(Finite Impulse Response)和IIR(Infinite Impulse Response)filter,即有限脉冲响应滤波器和无限脉冲响应滤波器。前面的文章中,我们已经介绍了,理想脉冲信号,其傅里叶变换恒为1,也就时包含了所有频率分量,是一个理想的测试信号,能够激发出所有单位频率分量的响应,因此理想脉冲信号的响应,就代表了系统的特性。

滤波器也可以看成一个系统,如果用一个理想脉冲信号激励,就会有输出,我们把输出个数有限的称为有限脉冲响应滤波器(FIR);输出无限多的称为无限脉冲响应滤波器(IIR)。今天先说一下FIR。

一、Z传递函数的零点和极点代表什么

我们知道 [公式] 域的零极点表征了系统的响应特性:极点代表了系统的模态,零点代表了系统能屏蔽的模态,在“如何理解离散傅里叶变换及z变换”一文中我们知道了 [公式] 域和[公式] 域的关系:[公式] , [公式] ,所以当 [公式] 时,[公式] ,对应的是 [公式] 域的虚轴,而此时 [公式] 对应的是单位圆,也就是说[公式] 变换将 [公式] 域的虚轴映射成 [公式] 域的单位圆。

当 [公式] 时,[公式] ,对应的是 [公式] 域的正半轴,而此时 [公式] ,由于 [公式],也就是说此时[公式] 变换将[公式] 域正半轴映射到了[公式] 域的单位圆外部。

当 [公式] 时,[公式] ,对应的是 [公式] 域的负半轴,而此时 [公式] ,由于 [公式],也就是说此时[公式] 变换将[公式] 域负半轴映射到了[公式] 域的单位圆内部。

 

继续扩展, [公式] ,很显然:

  • 当 [公式] 时 [公式] ;
  • 当 [公式] 时 [公式] ;
  • 当 [公式] 时 [公式] ;
  • 当 [公式] 时 [公式] ;

我们知道在 [公式] 域上,虚轴上不同的点对应不同的频率,而 [公式] 域上单位圆与 [公式] 域虚轴对应,可见, [公式] 域单位圆上不同的点,代表了不同的频率。

很容易得到,对于 [公式] 域的传递函数的零极点,也有和 [公式] 域零极点类似的结论:

  • 规律1:如果在单位圆上有零点,则在零点所对应的频率上幅值响应为零;
  • 规律2:对于不在单位圆上的零点,在单位圆上离零点最近的点对应的频率上幅值响应最小。
  • 规律3:对于在单位圆内部的极点,在单位圆上离极点最近的点对应的频率上幅值响应最大。
  • 规律4:如果极点和零点重合,对系统的频率响应没有影响

在“如何理解离散傅里叶变换及z变换”一文中,我们还介绍了如果一个信号的频谱如下:

频谱中最大的频率为 [公式] ,用一个周期为 [公式] 狄拉克梳状函数进行采采样后的频谱为原频谱的周期延拓,延拓的周期为采样周期 [公式] ,示意图如下:

也就是说,采样之后的频谱是一个周期函数,我们把 [公式]称为主值区间,其中 [公式] 是 [公式] 延拓一个 [公式] 周期得来的,与 [公式] 完全对称,因此我们一般只考虑 [公式] 区间,也就是半个单位圆的区域。


二、零、极点分布如何影响频率响应

我们先看个简单的例子,熟悉一下套路。

Ex1: [公式]

对于这个系统,在 [公式] 有一个极点,在 [公式] 时有一个零点。零、极点分布如下:

其中 [公式] 表示零点, [公式] 表示极点。我们来粗略分析一下这个系统的响应会是什么样。从 [公式]也就是单位圆上角度为零(也是频率为零)的点开始,此处[公式]有一个零点,根据规律1,显然在频率为零时系统响应为零,顺着单位圆沿逆时针方向旋转,我们离零点越来越远,零点的影响也越来越小,因此幅值响应会逐渐增大。当我们到达 [公式] ,也就是频率为 [公式] 时,此时离零点最远,因此响应会达到一个最大值,当频率继续增大时,由于离零点又开始接近了,幅值响应又开始变小。

细心的童鞋可能发现了另外一个端倪,你刚分析了零点,可系统明明还有一个极点啊!——没错,为你的细心点赞——我们仔细观察,发现极点正好位于圆心位置,也就是说所有频率段离极点的距离都一样,因此可以认为都没影响。

用freqz函数将系统的频响画出来,就长成下图的样子,这也印证了我们之前的分析,这个系统本质上是一个高通滤波器。


 

这个系统换做时域是什么样?

[公式]

若 [公式] 为系统输出, [公式] 为系统输入,则 [公式]

进行逆变换就可以得到:

[公式]

这本质就是一个差分,对应连续系统的微分,我们知道微分对应的是传递函数是 [公式] ,稳态时为 [公式] ,这显然是一个高通滤波器,与前面的分析是一致的。

 

Ex2: [公式]

很容易看出系统的零极点图如下:

显然,零点跑到了 [公式] 处,因此,系统的频响会先减小,到 [公式] 处达到最小值,然后又增加,具体频响如下图,这本质上是一个低通滤波器。


 

很容易得到时域的表达式为: [公式]

这本质就是一个离散求和,对应连续系统的积分,我们知道微分对应的是传递函数是 [公式] ,稳态时为 [公式] ,这显然是一个低通滤波器,与前面的分析是一致的。



Ex3:假如我们在0到 [公式] 之间放置一个零点,那会不会是一个带阻滤波器呢?比如我们想在频率在 [公式] 这个点的系统频率响应为零。

 

频率[公式] 所在点对应的相角为 [公式] ,由第一部分可知,频率响应在 [公式] 与 [公式] 之间具有对称性,因此上述系统在相角为 [公式] 处也有一个零点。

转化成传递函数就是:

[公式]

展开可以获得:

[公式]

即 [公式]

 


 

这个系统换做时域是什么样?

[公式]

若 [公式] 为系统输出, [公式] 为系统输入,则

[公式]

进行逆变换就可以得到:

[公式]

 

Ex4:[公式]

前面,我们把零点和极点都放在了单位圆上,那能不能放在其他位置呢?——单位圆外面是不行的,因为外面对应着s域的正半轴,系统是不稳定;内部呢?我不妨把零点先放在x轴上试试,放在 [公式] 这个点上。

粗略分析,当 [公式] 时(对应频率为零)离零点最近,此时频率响应应该最小,但不为零。当 [公式] 时(对应 [公式] )离零点最远,响应应该到达最大值。

可见,零极点的位置决定了系统在不同频率下的响应情况。


 

Ex5[公式]

这个传递函数有点意思了,它有6个根——都是复数哦!

我们可以将上述方程写成如下格式: [公式]

所以解为: [公式]

总共有6个根均布在单位圆上,如下图:

我们可以画出如下的频率响应,可见其本质是一个多个带阻的滤波器。这种滤波器有啥用呢?我们知道,市电频率是50Hz,其带来的干扰一般就是50Hz其整数倍谐波100Hz、150Hz,200Hz等,选择这种数字滤波器就可以消除类似于市电50Hz带来的噪声影响。

 


 

 

Ex6: [公式]

对于该函数,其零点位于 [公式] 处,6个零点均匀分布在单位圆上。

另外,在 [公式] 处还有一个极点,与该处的零点重合,零极点如下图所示。

可见,在 [公式] 处由于零极点重合,并未对系统产生影响,也就是说,如果想消除某零点给系统带来的影响,我们可以再该位置同时也放置一个极点;反之亦然。

观察一下与Ex5的频响的区别,是不是很有意思?


 

三、如何简单粗暴的设计一个FIR滤波器

前面套路差不多说完了——有高通、低通、带阻滤波器,好像还没有带通滤波器,下面我们就拿带通滤波器来练练手。

要求如下:在125Hz时频率响应达最大值,采样频率 [公式] 。

由于125Hz是采样频率1000Hz的1/8,我们先均匀布置8个零点在单位圆上,这样就能保证有一个零点是位于125Hz处的。

我们知道,零点位置时频率响应最小的点,我们现在是想要在125Hz(相角 [公式] )处响应最大,貌似有矛盾——没关系,我们可以再放个极点,将这个零点抵消掉(规律4)!

由于对称性呢,在-125Hz(相角 [公式] )也要放置一个极点。最终零、极点分布如下图:

由Ex5可知,均匀分布的8个点,对应的传递函数的分子为 [公式] ,两个极点对应传递函数的分母为 [公式] ,所以总的传递函数为:

[公式]

化简一下:

[公式]

这就是我们要的传递函数了,换成时域是什么样呢?

[公式]

逆变换一下:

[公式]

平移一下:

[公式]

[公式]

细心地童鞋可能注意到: [公式] 是未来的数啊,这显然不太合理,那怎么办呢?——还记得Ex1吗?我们可以再圆点处加极点啊,当其他零极点都在单位圆上时不影响频率响应,如下图:

则传递函数变成了:

[公式]

最终时域关系变为了:

[公式]