罗伯特·朗兰兹的思想揭示了数学内部的联系,帮助解决了数百年的难题,并惠及了相差甚远的多个领域中的研究者。

 
挪威科学与文学院 3 月 20 日宣布,将 2018 年的阿贝尔奖授予加拿大数学家罗伯特·朗兰兹,因为他发现了代数、数论和分析之间意外、广泛的联系,这是数学界最富盛名的奖项之一。
 
Robert Langlands 
Rich Schultz
 
81 岁高龄的罗伯特至今仍然活跃在普林斯顿高等研究院(IAS),他的办公室曾经属于阿尔伯特·爱因斯坦。
 
1967 年,他提出了被称为朗兰兹纲领的框架,并亲自完成了其中的一部分。朗兰兹纲领有点像罗塞塔石碑,允许研究者们在数学的不同领域间互相翻译。这样,在一种语言下无法解决的问题就可能在另一种语言下变得容易解决。这种联系表明,两种看起来不同的概念只是更深层次真相的两种表象。
 
其他研究者们已经极大地推广了朗兰兹纲领的范围。至少三名数学家已经因为证实了这一宏大纲领中的一小部分而获得了菲尔兹奖。研究者们逐渐意识到,数学中的一些老问题只是纲领推广后的特例。其中之一叫做韦伊猜想,被比利时数学家皮埃尔·德利涅解决,他也因此获得了 2013 年的阿贝尔奖。另外一项是 20 世纪 90 年代被英国数论学家安德鲁·怀尔斯和另一名合作者共同解决的:这项工作让他们解决了费马大定理,并让怀尔斯获得了 2016 年的阿贝尔奖。
 
纲领的联系非常广泛,足以使它被称为“数学界的大统一理论”。甚至连朗兰兹本人都经常对此迷惑不解。“就好像你是一个考古学家,在沙漠里挖出一块石头——结果发现是金字塔的顶。”IAS 院长、数学物理学家罗伯特·迪杰克格拉夫说。
 
阿贝尔奖是仿照诺贝尔奖设立的,于 2003 年起每年颁发。奖金为 6 百万挪威克朗(合 77.7 万美元)。
 
朗兰兹于 1967 年勾勒了纲领的初稿,当时他是 IAS 的一名年轻的访问学者。他最早的研究方向是代数方程理论(例如学校里学到的二次方程就是代数方程)。19 世纪初,法国数学家埃瓦里斯特·伽罗瓦发现,大体上说高次方程只有一部分是可解的。
 
伽罗瓦还表明,这类方程的解必须满足对称性。例如,x^5=1 的解被画在复平面(以实数为一根轴,纯虚数为另一根轴所构成的平面)上时,正好是单位圆上的五个点。他表明,即使这种方程无法解出,仍然可以通过研究对称性得知解的很多信息。
 
朗兰兹的做法受到了伽罗瓦理论后续发展的启发。他的理论能让研究者将代数问题翻译成调和分析的“语言”,这个数学分支会将复杂的波形拆分成更简单的正弦波成分。
 
20 世纪 80 年代,弗拉基米尔·德林费尔德等人提出了几何和调和分析之间类似的联系。这一想法初看起来和朗兰兹纲领只是有些相似,但数学家们之后发现了这两个领域间更强的联系。(德林费尔德生于乌克兰,现为芝加哥大学数学家,于 1990 年获得了菲尔兹奖。)
 
朗兰兹纲领几何版本所涵盖的一项早期猜想涉及到了某些方程和调和分析之间的联系,而这项猜想在怀尔斯对 300 多年无解的数论难题费马大定理的证明中获得了证实。2007 年,当怀尔斯将自己的一部分工作纳入其证明的时候,朗兰兹写道:“这使我十分欣喜,也十分吃惊。”
 
从朗兰兹纲领中已经衍生出了一整个广泛的领域,就连他本人都说自己无法完全理解其中的所有工作,特别是几何部分对物理的影响。他在 IAS 的同事、理论物理学家、也是 1990 年菲尔兹奖得主之一的爱德华·威滕于 21 世纪之初研究过这部分联系,他说:“我本人只能理解朗兰兹纲领的一小部分。”