【导读】这学期的信号与系统进展到第五章，拉普拉斯变换与 z 变换。前几天看到一篇博文中对于无限电阻**求解相邻节点阻抗中使用了离散傅里叶变换 (DFT) 的方法比较新颖。分析了DFT在其中仅仅是起到描述线性时不变离散时间系统的作用，所以将其替换成 z 变换进行描述，则在分析求解过程中会更加的清晰。
01 电阻**
一、问题来源
在网文 Infinite Ladder of 1Ω of Resistor[1] 中讨论了如下无穷电阻**两个相邻节点之间的电阻。特别有意思的是，文中还是用了离散傅里叶变换（DFT）给出了另外一种求解方式。这不禁让人们好奇：在这样的电阻**分析中，离散傅里叶变换到底起到什么作用？
图1.1 一欧姆组成的无线电阻**
二、问题求解
1、普通求解方法
实际上，原文给出了使用普通电阻串并联分析方法， 过程也比较容易。先假设分别从节点 (0) 和 (1) 往左和往右得到的等效电阻为
。
图1.1.2 向左，向右两个半边无限电阻**等效电阻
由于半边电阻**是无穷大的，所以再前进一个节点所对应的等效电阻仍然是
。这样就可以得到如下等式：
这样便可以求解出
。上面等式化简为
由此可以求得
图1.1.3 半边无限电阻**的每一级都是等效电阻R'
那么相邻两个节点之间的电阻为
图1.1.4 相邻节点之间的等效电阻
2、离散傅里叶求解
假设每个节点都由外部施加有电流源进行激励， 分别记做为
。对应每个节点的电压为
。
根据基尔霍夫节点电流定理和欧姆定理可以知道
(1-2-1)
图1.1.5 每个节点对应的电压与电流
假设序列
所对应的离散序列傅里叶变换分别为
，则有
根据离散傅里叶变换的位移性质，三个相邻节点电压
的离散傅里叶变换分别为
据前面公式（）可以知道
(1-2-2)
如果在节点 (0), (1) 施加正负1A的电流，对应的
。在电阻**各节点形成对应的电压
分布。那么节点 (0)，(1) 之间的电压差
就是电阻**等效的电阻
。
图1.1.6 在相邻两个节点施加正负1A电流激励
根据
，所以
那么对应的电阻
三、利用Z变换求解
离散序列的傅里叶变换实际上是 z 变换的一种特殊形式， 即
， 即 z 变换在单位圆上的取值 。那么上述过程是否也可以利用 z 变换求解呢？（找元器件现货上唯样商城^-^）
1、z变换方程
对于电阻**做相同的电流激励，每个节点输入的电流源和节点对地的电压分别记作
。它们对应的 z 变换为
。则有
根据公式 (1-2-1) 以及 z 变换的位移特性，则有
(1-3-1)
对电阻**施加电流
，对应的
2、留数定理求取积分
上述积分通过留数定理进行求取。积分公式中包含有三个极点
由于
都是双边序列，所以它们的收敛域都是圆环。根据电流激励源为
，所以可以知道 都是面积可和序列，所以它们存在离散傅里叶变换， 这也说明
的收敛域包含有单位圆。
根据上述分析，可以知道积分号中的被积函数的收敛域只能如下图所示。
图1.3.1 积分式内函数的收敛域
所以，
对应的围线积分的路径中只包含有
两个极点。这两个极点对应的留数分别为
所以相邻节点之间的电阻为：
02 DFT与ZT
到此为止，我们了解了在求解电阻**相邻节点电阻的时候，利用离散傅里叶变换（DFT）的作用，并不是对于各节点信号进行频谱分析，而是利用 DFT 描述了电阻**在节点电流激励下 **节点电压之间的关系。也就是把上面表达式（1-2-1）转换成（1-2-2）。然后在DFT变换域内对
作用下求解
，进而可以获得
。
在最后计算过程中，需要对比较复杂的三角函数进行积分，这个过程显得比较麻烦。
离散傅里叶变换实际上是 z 变换的一种特殊形式， 也就是
，即 z 变换在单位圆上的取值。所以将上述分析更换成 z 变换的形式，也能够进行求解。
如果将电阻**看成离散节点电流输入
，离散节点电压输出
，因此这是一个线性离散时不变系统。描述它可以使用 z 变换。这样系统方程就变成了（1-3-1）。在 z 变换域内求取系统的输出更加方便。
可以看到最后计算时，利用留数定理计算最终的积分值比较方便，避免了比较复杂的三角函数的积分计算。但在分析被积函数的收敛域的时候，需要比较小心。
总结
这学期的信号与系统进展到第五章，拉普拉斯变换与 z 变换。前几天看到一篇博文中对于无限电阻**求解相邻节点阻抗中使用了离散傅里叶变换 (DFT) 的方法比较新颖。分析了DFT在其中仅仅是起到描述线性时不变离散时间系统的作用，所以将其替换成 z 变换进行描述，则在分析求解过程中会更加的清晰。
参考资料
[1] Infinite Ladder of 1Ω of Resistor: https://sites.google.com/site/resistorgrid/node1#sec:1D
发表于 2022-7-11 11:18:17
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