芯耀
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噪声和线性度性能是模拟电路最为关键的两个特性。噪声性能决定了电路能够处理的最小信号，而电路的线性度则为信号幅度设定了上限。在本文中，我们将研究无杂散动态范围（SFDR），它是一种用于量化电路线性度的常用指标。
一、非线性建模
假设我们的非线性电路是无记忆的（任何时刻的输出仅取决于同一时刻的输入），我们可以使用以下方程来近似表示输入-输出特性：
其中vin(t)和vout(t)分别是电路的输入和输出信号。系数α1表示电路的线性增益，而其他系数（α2)、(α3)、(α4）...表征电路的失真情况。对于一个全差分电路，偶数阶失真项（α2)、(α4）…通常可以忽略不计，这样我们就有： 公式1：
请注意，上述等式假定(α3)是主要项，并且忽略了更高阶的奇数次项（α5)、(α7）…。
二、单音无杂散动态范围
假设将一个单音正弦波(vin(t))施加到由公式1所描述的非线性电路中：
输出将会是：
当输入是角频率为ω的单音正弦波时，输出中有两种不同的分量：一种是角频率为ω的分量，另一种是角频率为3ω的分量。如图1所示。
图1
角频率为ω的分量通常是我们期望得到的输出；然而，角频率为3ω的分量（通常被称为三次谐波）的产生仅仅是由于电路的非线性（α3不为零）。
上述分析是基于一些简化假设的。例如，我们假设电路是无记忆的，并且在t=t0时刻的输出电压是t=t0时刻输入的函数。此外，我们只考虑了其中一个失真项。在现实中，这些假设并不总是成立的。因此，即使输入是单音正弦波，非线性电路的输出也可能会产生多个频率分量。这一点在图2中有所体现。
图2
该图展示了一个假设的电路在输入为角频率ωin的单音信号时的输出情况。除了在角频率ωin处的期望输出之外，输出频谱中还存在几个不同的频率分量（杂散信号）。前面提到的非线性分析预测产生的频率分量是输入频率的谐波。然而，在实际情况中，这些杂散信号可能与输入信号存在谐波关系，也可能不存在。
有几种不同的指标可用于描述电路的线性度。其中一个常用的指标是SFDR。SFDR范围指标被定义为在感兴趣的带宽内，期望信号幅度与最大杂散信号幅度之比。这个比值通常以dB为单位表示。由于这个定义是相对于信号（或载波）电平来规定最大杂散幅度的，所以我们以相对于载波的dBc来表示SFDR，如图2所示。有时，我们更倾向于相对于电路的dBFS来表示最大杂散电平。当处理像具有精确定义的最大输出信号的A/D转换器这类电路时，通常会使用后一种单位。
三、双音无杂散动态范围
假设将以下双音输入施加到由公式1所描述的非线性电路中：
输出将会是：
当输入由角频率为ω1和ω2的两个分量组成时，输出中存在多个不同的频率分量，分别处于ω1、ω2、2ω1±ω2以及2ω2±ω1的频率处。如果ω1和ω2彼此接近，那么处于3ω1、3ω2、2ω1+ω2以及2ω2+ω1频率处的分量将远离期望的处于ω1和ω2的输出分量。有望可以滤除这些不需要的分量。
然而，存在另外两个处于2ω1-ω2和2ω2-ω1频率处的分量，它们非常接近期望信号，并且不容易被滤除（需要注意的是ω1≈ω2）。图3展示了双音测试时非线性电路的输出情况。
图3图3表明，对于这项测试，我们可以将SFDR定义为两个原始单音信号中任意一个的幅度与感兴趣带宽内最大杂散信号幅度之比。同样，我们可以用dBc或dBFS来表示SFDR。我们通常将图2中所示的无杂散动态范围称为单音无杂散动态范围，而将图3中定义的称为双音无杂散动态范围。类似地，我们可以针对多音输入定义这一指标（即多音无杂散动态范围）。如图4所示。
图4
请注意，图2、图3和图4中的杂散信号可能与输入信号存在谐波关系，也可能不存在谐波关系。
四、与噪声相关的SFDR的定义
还有另一种SFDR的定义，它与上述讨论的有所不同。这个定义是基于双音测试的。如前所述，双音测试会产生多个失真分量。新的SFDR定义所考虑的失真分量是处于2ω1±ω2以及2ω2±ω1的分量，其幅度为3*α3*(A^3)/4。这些分量的幅度与输入信号幅度（A）的三次方成正比。因此，如果将原始单音信号的幅度增加1dB，那么从理论上讲，这些分量的幅度将增加3dB。这在图5中有所体现。
图5
此图展示了期望输出的功率以及失真分量的功率与输入功率的关系（单位均为dBm）。表示失真项功率的蓝色曲线以斜率为3的速率增长，而表示期望输出功率的绿色曲线以斜率为1的速率增长。
随着输入幅度（A）的增加，失真分量变得越来越大，直到其功率大于电路输出端的噪声功率（紫色线条所示）。当失真功率等于输出噪声功率时的信噪比（SNR）被定义为SFDR值。这在图5中以图形方式进行了说明。根据这个定义，可以得出SFDR由以下方式给出
其中No是电路输出端的噪声功率，OIP3指的是绿色曲线和蓝色曲线交点处的输出功率。在这一点上，失真分量的功率等于期望输出的功率。请注意，这个交点只能通过外推相应的曲线来找到。这是因为随着输入功率的增加，电路会越来越多地表现出其非线性特性。因此，期望输出和失真分量分别逐渐不再以斜率为1和斜率为3的方式增加。
需要重点注意的是，这种SFDR的定义规定了给定带宽下电路的非线性情况，因为它将失真分量与电路噪声功率进行了比较，而电路噪声功率取决于电路带宽。这与图2、图3和图4中SFDR的定义形成对比，在那些定义中，只有期望输出的幅度和失真分量是重要的。
五、射频设计中的SFDR定义 在射频设计中，还有另一种用于描述接收机线性度的SFDR定义。与和噪声相关的定义类似，这种新的SFDR定义也是基于双音测试的。接收机的输入幅度（A）会增加到使得失真分量等于接收机输出端的积分噪声的程度。我们可以将此时的输入功率视为接收机的最大可容忍信号功率。 SFDR被定义为最大可容忍信号功率除以最小可容忍信号功率。最小功率通常被称为接收机灵敏度Psensitivity，其表达式为
其中NF是以dB为单位的接收机噪声系数，B是系统带宽（单位为Hz），SNRmin是所需的最小信噪比（单位为dB）。假设最大可容忍信号功率（Pin,max）和接收机灵敏度Psensitivity都以dB为单位，我们有
代入Psensitivity，我们得到： SFDR=2*(Piip3+174dbm-NF-10logB-SNRmin)/3其中，IIP3（输入三阶截点）如图5所示。 六、SFDR：通信系统的重要指标
SFDR这一指标在处理通信系统时特别有用。例如，图2中所示的单音信号定义通常用于表征通信系统中DAC/ADC的线性度。它使我们能够评估ADC在存在大信号的情况下同时处理非常小的信号的能力。双音信号定义可用于分析大干扰信号对需要检测小信号的无线电接收机性能的影响。
例如：若接收机噪声基底为-120dBm，SFDR为80dBc，则最大无杂散输入信号为-40dBm（超过此值会产生不可接受的杂散）。
结论
SFDR作为量化电路线性度的核心指标，其定义与应用因场景而异。通过单音、双音及多音测试，可针对性地评估电路在不同信号条件下的失真抑制能力，尤其适用于通信系统中DAC/ADC及接收机的性能分析。射频设计中基于噪声与灵敏度的SFDR定义，进一步关联了线性度与系统带宽、噪声系数等关键参数，为接收机动态范围与抗干扰能力提供了综合衡量标准。这一指标在通信领域对于保障大信号与小信号共存、提升信号检测鲁棒性具有不可替代的工程价值。
