深入浅出介绍功率放大器（PA）记忆效应是什么？

一、引言

记忆效应是由放大器传输特性的时间变化引起的。由于射频功率放大器的作用是向天线端口提供稳定且可预测的功率，因此任何关于其特性变化的提及都可能引发关注。

然而，实际情况并不像听起来那么严重。记忆效应并不会影响线性放大器的正常工作。它们仅表现为失真幅度随时间的变化。因此，即使在失真低于规格的非线性放大器中，也可以安全地忽略记忆效应。然而，当失真超过规格且放大器需要线性化时，考虑记忆效应就显得尤为重要。

本文将讨论记忆效应、其产生的原因以及应对方法。

二、记忆的本质

记忆被定义为激励（输入）与响应（输出）之间的时间差。只有当施加激励的系统具有减缓激励速度的手段时，才会出现记忆效应。这些手段是能够存储电磁能量的组件，例如电感和电容。由于每个放大器都至少包含寄生电感和电容，因此我们应该得出结论：不存在无记忆的放大器。然而，记忆影响放大器工作的唯一方式是通过其失真。

为了使预失真技术发挥作用，我们需要对功率放大器（PA）的非线性行为进行准确表征。如果功率放大器的输出仅是其当前输入的函数，那么这一过程相对简单。然而，在实际应用中，功率放大器的输出是当前输入值和过去输入值的函数。这种被称为记忆效应的现象如图1所示。

图1. 由于记忆效应，输出是当前输入值和过去输入值的函数。

当系统的输出是其输入的精确副本（除了输出幅度的变化和恒定的时间延迟）时，该系统被称为“无失真系统”。换句话说，无失真系统在输出端重复其输入，不做任何修改，而记忆所做的只是在输入和输出之间引入一个恒定的相位偏移。显然，第一个定义适用于时域，而第二个定义适用于频域。只有当晶体管开始在其I-V曲线的非线性区域工作时，才会引入失真（对输入信号的修改）。在非线性工作模式下，输入和输出之间的相位偏移不再是恒定的，而是频率依赖的，时间延迟也不是恒定的。时域中的时间依赖性转化为频域中相位偏移的频率依赖性。

当记忆效应发挥作用时，PA的非线性响应不再是静态的。相反，它会随时间发生变化。例如，在图2中，记忆效应表现为功率放大器响应中的滞后现象。

图2. PA响应中的滞后效应。

三、记忆效应的实现

记忆仅影响放大器的非线性工作模式。放大器的非线性表现为增益变化（压缩或扩展）以及产生额外的（所谓的“互调”）产物。为什么会产生额外的产物是直观上可以理解的（时域中信号的总功率由频域中的频谱分量表示；它们的组合必须保持恒定且等于总功率的值；因此，如果其中一个分量由于压缩而减少，其他分量就会出现），并且这得到了帕塞瓦尔定理的证实。

记忆影响生成的互调产物（IM）的方式是通过具有频率依赖的相位。相位的重要性在于，只有当两个或多个产物相加时（这发生在它们落在同一频率上时），结果幅度才会取决于它们的相位。在非线性晶体管中，确实有几个IM产物落在同一频率上。这是因为晶体管非线性的本质。

通常对放大器线性度的评估是基于以下假设：输入信号是完全线性的，晶体管由一个整体非线性表示，并且所有可以过滤掉的不需要的产物（即那些离载波频率不太近的产物）确实被过滤掉了。在这种情况下，初始频率上不会出现额外的IM产物，晶体管被认为具有无限薄的厚度（换句话说，是无记忆的），因此，它不会在相同阶数的IM产物之间表现出幅度变化。

然而，这不是一个现实的模型。晶体管本身必须具有记忆，因为它不是无限薄的，所以它会减缓输入（由于寄生电容），并且当晶体管在非线性模式下工作时，记忆效应就会显现出来。其工作可以看作是两个背靠背二极管的组合，它们共享一个共同的基区（例如，吉梅尔-普恩模型就是基于这一原理）；二极管本质上是一个非线性器件；因此，它应该具有两个非线性，即输入非线性和输出非线性。

从基本的RC电路到数字有限脉冲响应（FIR）滤波器，许多电路都表现出对历史输入值的依赖性。例如，考虑图3所示的RC电路。

图3. 若不了解过去的输入值，便无法确定简单RC电路的瞬态响应。

上述电路在给定时刻的瞬态输出电压，不能仅由该时刻的输入电压激励来描述。我们还需要了解输入信号过去的值。电容器和电感器会在模拟电路中引入记忆效应。

输入非线性应被视为无记忆的，因为晶体管的基区相对于其主体来说非常薄。然而，由于无法过滤掉不需要的IM输入产物，因此假设它们都存在。二阶产物与自身以及其中一个基频混合以产生三阶产物，该产物落在输出非线性产生的三阶产物频率上（见文末表格）。

然而，输出非线性应该具有记忆，因为信号需要时间通过晶体管传播。这种记忆表现为相位对频率的依赖性，影响落在输出IM上的所有产物。因此，结果幅度将取决于该频率上所有产物相位之间的关系。

记忆也是由双音输入产生的三阶产物（IMD3）幅度变化的原因。IMD3的频率取决于初始音之间的频率差：如文末表格所示，IMD3频率为2α-β；基频之间的频率差为α-β；IMD3与基频之间的频率差为(2α-β)–(α)=α-β，这与基频之间的频率差相同。由于记忆表现为相位-频率依赖性，因此IMD3的相位将随着该频率差的变化而变化。相位变化将转化为该频率上所有产物相位之间关系的变化，这意味着结果IMD3幅度将取决于音之间的频率差。

因此，记忆通过晶体管的双重非线性影响其工作。当相位频率依赖的IM产物被组合时，记忆效应就会显现出来。结果是IM产物的幅度随频率变化。

处理具有非恒定幅度的宽带信号的功率放大器会同时表现出静态失真和记忆效应。静态非线性相对容易测量：我们只需将功率放大器的输出连接到具有足够动态范围和分辨率带宽的频谱分析仪即可。

为了观察记忆效应，我们通常采用图4中更为复杂的测试设置。

图4. PA的输出被解调并数字化，以便与原始输入信号进行直接比较。

在上述图中，x(i)和y(i)分别表示数字输入信号和数字输出信号。用于生成y(i)的观察路径包括一个耦合器，用于对功率放大器的输出进行采样，以及一个接收器，用于将射频信号转换为对应的数字化值。

一旦我们知道了x(i)和y(i)的值，就可以采用诸如均方误差等技术来估算功率放大器的标称增益。标称增益的偏差是由功率放大器的非线性特性引起的。图5展示了通过绘制输出幅度与输入幅度的关系图，我们可以研究功率放大器的饱和行为。

图5. 具有记忆效应的非线性PA的典型传输特性。

在较高的输入电平下，输出开始饱和，这意味着输出不再随输入线性增加。这种在高功率电平下增益的减小被称为增益压缩。

在已知x(i)和y(i)的情况下，我们还可以测量功率放大器的AM-to-AM和AM-to-PM响应。正如我们将在下一节中讨论的，我们可以利用这些特性来量化实际功率放大器的色散效应。具有色散效应的功率放大器对于给定的输入值会有多个输出值。与作为静态非线性形式之一的增益压缩不同，色散效应是由功率放大器的记忆效应引起的。

AM-to-AM响应被定义为PA增益的幅度与输入信号幅度的关系。类似地，AM-to-PM响应则是功率放大器增益的相位与输入信号幅度的关系。

为了评估功率放大器的性能，我们首先生成所需的基带信号，并将其传输到任意波形发生器（AWG）中。AWG会对基带信号进行调制并上变频到射频。然后，我们将这个射频信号施加到功率放大器上，并使用矢量信号分析仪捕获其输出，该分析仪会将信号转换回基带并进行数字化处理。

通过比较原始基带信号和处理后的基带信号，我们可以有效地分析功率放大器的记忆效应。

图6. 具有记忆效应的PA的实测(a) AM/AM和(b) AM/PM

四、补偿方法

记忆效应使功率放大器线性化的任务变得复杂。线性化的目标是补偿由于增益压缩而产生的IM产物（如前一节所述）。由于记忆效应使IM产物的幅度成为频率依赖的，并且这种依赖性的模式难以预测，因此很难找到一种通用的补偿方法。

一种流行的线性化方法是基于反馈。这种技术通过采样输出、反馈并修改输入信号来纠正输出非线性。为了适应记忆效应，输出采样是在时间帧的几个增量上进行的，并且需要对每个采样实例进行校正。

然而，这种方法有其局限性。它的效果取决于采样的实例数量，并且计算密集。处理记忆效应的更好方法是消除其产生的原因——即消除落在IMD3频率上的其他IM产物的贡献。如前一节所述，这些产物是包络产物和二次谐波。然而，包络产物的幅度是二次谐波的两倍（见文末表格）。因此，分流包络产物应能大大减少记忆效应，这在文献中得到了证实。这一结果依赖于记忆（即，它应取决于晶体管尺寸），然而，幅度上的显著差异使得二次谐波产物在所有引起记忆效应的实例中对包络产物的影响都较小。

当然我们现在实际使用的主流技术是数字预失真（DPD），预失真电路需要展现出与功率放大器相反的传输特性，如图7所示。这样，预失真器与功率放大器的组合响应就会变为线性。如果功率放大器的行为是准静态的，那么确定合适的预失真函数就会更加直接。在这种情况下，我们可以假设功率放大器的输出幅度与输入信号之间存在固定的、单调的关系。

图7. DPD系统的框图展示了它如何对功率放大器进行线性化。

在不存在记忆效应的情况下，输出信号的值仅由当前的输入值决定。因此，我们可以记录功率放大器的非线性行为，并将这些数据编码到一个查找表中，然后可以利用这个查找表来实现一个数字预失真系统，如图8所示。

图8. 一个基于查找表（LUT）的开环预失真系统。

图9是DPD前后AM/AM和AM/PM曲线的测试结果，从测试结果我们可以看到无论是AM/AM曲线还是AM/PM曲线，在DPD校准前测试数据都很离散，但是在DPD校准后，测试数据变得紧凑。

图9. DPD系统对PA AM/AM和AM/PM参数的优化。

然而，如果存在记忆效应，我们就需要对PA的记忆效应进行建模。实现这一目的的技术包括Volterra级数、Wiener模型以及记忆多项式模型。随后，我们将这些模型整合到我们的预失真线性化器中，下节我们将具体介绍一下。

五、公式

到目前为止，我们已经对记忆是什么、它是如何实现的以及如何消除其影响有了一个大致的了解。然而，为了准确预测记忆行为并找到具体的补偿方法，我们需要对其效应进行良好的数学描述。这种描述通常以基于Volterra级数的晶体管数学模型的形式出现。

晶体管模型是用于预测给定输入下的输出的表达式。一般来说，它是一个复杂的非线性函数；然而，可以使用函数拟合方法对其进行简化，即使用级数来表示函数。

任何非线性数学函数都可以用泰勒级数表示，随着多项式阶数的增加，表示的准确性也会提高，这是数学家几个世纪以来使用的方法。晶体管的非线性通常用这种形式的多项式表示：

y = ax + bx² + cx³ + … (1)

其中x是输入，y是输出。

如果我们找到系数a、b、c…，我们就能够根据输入预测输出。它们通常是从曲线拟合提取模型中找到的。

这种表示的问题在于它没有包含记忆的手段。为了捕捉记忆效应，我们需要在几个时间实例上使用(1)，然后组合结果（如前一节所述）。这就是Volterra级数的工作原理。

线性系统中的记忆通过以下卷积积分来考虑（这是通过脉冲响应对系统进行独特表征的结果）。

其中：x是输入，y是输出，h是从输入到输出的脉冲响应。因此，t是激励时间，τ是响应时间，而t-τ是系统记忆时间。

Volterra将线性系统的表示式（2）扩展到了非线性系统。他的方法与泰勒级数（1）类似，但不同的是，他没有使用同一输入（x, x², x³…）的幂级数，而是使用了在不同时间实例上的一系列积分算子：

也就是说，Volterra级数并非在任意时间都使用相同的输入x，而是呈现特定时间点的输入值并对它们进行积分。如果系统中没有记忆效应，那么 x(τi)就不会有时间依赖性，它们都会是相同的值，此时Volterra级数就会退化为泰勒级数。

与泰勒级数一样，Volterra级数的目标也是找到被称为核函数的系数。然而，这比在无记忆情况下找到系数要困难得多，原因是这些系数是相互关联的。此外，并非所有函数都能转换为Volterra级数，这也带来了额外的问题。虽然存在解决方案和变通方法，但由于本文的目的是解释记忆效应的工作原理，因此这里并不讨论这些内容。关于Volterra级数在射频功率放大器中的具体应用，读者可以查阅相关文献。