器件输运方程总结（一）

说明

器件输运这个话题太大了，细说起来，即使对同一个器件结构，从不同的视角考虑不同的机制可以写出不同的输运过程。这里仅仅从个人角度简单总结一下,有不对之处还望指正。

这里只是做一个不全面的公式总结，对于公式的理解以及相互之间的联系可能还比较肤浅，毕竟笔者偏实验，读博期间主要是使用这些公式。要深入了解具体输运方程和公式的推导过程建议直接查看对应文末的参考书籍，都十分经典。

摘要

半导体器件的输运分析十分重要，建立合适的输运模型有利于理解和分析器件的电流-电压特性。虽然基于第一性原理的思想，我们可以从微观机制角度建立一个总的方程，但是在具体器件中建立输运模型需要各种近似来简化模型和计算。根据不同的器件设计和工作模式，其主导的输运机制不同，从而决定了器件有不同的输入输出特性。

这里对常见的一些输运模型和对应方程进行一个总结。

总方程

电流的定义是单位时间内通过某一横截面的净电荷数目，很容易写出其定义式：

据此建立一体积模型可以推导出

上式也可以在实空间写出，也可以在k空间中写出。

以上电流方程是基于经典模型，把载流子考虑成遵从牛顿定律的粒子推导出的，有意思的是以上公式还可以从量子的角度推导得出，具体流程如下：

实际上，可以从不同的角度去理解载流子的输运过程，从微观量子的角度可以把它看作是波函数的传播，从宏观角度可以把它看成是遵从牛顿定律的粒子（引入波包和有效质量等模型），也可以从相空间角度去考虑其在相空间的分布情况。

（图片来源：书籍fundamentals Of Carrier Transport）a图：量子波函数视角；b图：半经典粒子视角；c-d图：分布函数视角

在不同的结构中也需要从不同的视角考虑以建立合适的物理模型和输运方程，比如对于异质界面，需要着重考虑其量子特性，因此要从朗道方程出发推导其在异质界面的输运过程。对于在均匀材料的沟道中且对应器件尺寸较长，可以用连续性方程考虑漂移扩散过程进行求解。

朗道方程

朗道方程主要建立在量子输运上，而不是牛顿定律，也不考虑散射，常用于描述隧穿结构，材料界面、弹道输运、单电子器件、小尺寸低维器件等场景下的输运过程。

朗道输运方程的表达式是：

载流子的透射效率或者说是隧穿概率T（E）可以结合具体是势垒的势能函数求解薛定谔方程得到。

值得注意的是，当考虑量子输运后，在跨过势垒时隧穿概率不是从0突变到1。解薛定谔方程后可以看到，势垒对电子波函数还是有一定的反射率，在越过势垒后随着能量的逐渐增大，透射系数逐渐增大并逼近经典极限。对于高于势垒情况下，隧穿概率小于1对于突变的势场更为明显，对于缓变势，该概率为1,也就是说对于经典模型更适合用于内建势和外加势是缓变的情况，如果是突变的，就需要考虑量子过程了。比如对于下图中这种高于势垒下下的反射现象和低于势垒下的透射现象是量子模型下得到的，对于classical模型，低于势垒是完全阻止而高于势垒是全部透过。

（图片来源：quantum transport书籍）

对于尺寸较小的样品或者低维材料，其量子限域效应的增强也意味着需要更多的去考虑其量子过程以对其输运模型进行修正。

朗道方程是十分重要的一个输运方程，尤其对于低维材料和异质材料，后面会看到很多具体机制的方程都可以由它导出。具体推导可以看Supriyo Datta教授的Quantum Transport，B站有对应讲解视频量子输运理论-Quantum Transport-by Prof. Supriyo Datta_哔哩哔哩_bilibili

玻尔兹曼方程

外场作用会引起载流子分布函数的变化。玻尔兹曼方程考虑引起载流子分布函数变化的机制，给出对载流子分布函数的全微分描述，其概率密度f，是实空间和相位空间的6维函数，具体可以参见沙威老师的文章：玻尔兹曼方程，流体动力学方程，扩散漂移方程... - 知乎 (zhihu.com)。

玻尔兹曼方程是从牛顿方程的角度出发，考虑相空间的流（current）守恒。

（图片来源于书籍fundamentals Of Carrier Transport）

详细可以看Mark Lundstrom的fundamentals Of Carrier Transport这本书。玻尔兹曼方程不仅仅可以用于推导电流，还可用流体系统、热力学系统等。玻尔兹曼方程表达式如下：

实际上，从玻尔兹曼方程出发进行近似和化简后可以得到连续性方程。

连续性方程

在没有驱动下，材料中的电子做无规则的热运动，总的电流为零。最常见的驱使电子做定向流动形成传导电流的是电场导致的飘移和载流子浓度梯度造成的扩散。考虑漂移和扩散过程，可以写出电流密度方程：

结合泊松方程、电流密度方程的基础上，考虑时间上的载流子产生与复合过程，可以推导出连续性方程。

代入电流密度表达式：

最终可以得到

从物理意义上去拆解，在以上二式中,右边的第一项是漂移过程中由于载流子浓度不均匀而引起的载流子积累,第二项是在不均匀的电场中因漂移速度随位置变化而引起的载流子积累,第三项是由于扩散流密度不均匀(浓度梯度不均匀)而引起的载流子积累,第四项为复合作用引起载流子的减少,第五项为产生作用引起载流子的积累。

输运机制

从总方程出发根据具体输运机制可以导出不同机制下的输运方程。

隧穿方程

隧穿是一种量子力学现象，考虑电子的波动性，对于有限高度和宽度的势垒，可以从薛定谔方程出发，通过WKB近似进行简化，结合不同势垒形状导致的电势变化，写出隧穿概率的表达式。将隧穿概率带入朗道输运方程，化简后可以得到隧穿方程。对于金属绝缘体型异质结构，其在低压下的隧穿通常是直接隧穿，高电压下通常是FN隧穿。FN隧穿的表达式如下[1, 2]：

一般来说，在大偏压下FN隧穿主导，在小偏压下直接隧穿主导，这是由于大偏压下势垒处能带的“倾斜”比较严重，三角势垒部分占据的区域比较大，发射端材料对应的费米面附近的载流子的能量分布大部分处于三角势垒区域。

此外隧穿势垒的厚度也会影响主导的隧穿机制，James Hone等人通过AFM研究了不同层数的BN（一种二维绝缘材料）的隧穿特性[3]，发现其在小偏压下和薄势垒下是直接隧穿主导，大偏压下为FN主导，直接隧穿对应公式为：

FN隧穿对应公式为：

观察上面两个式子可发现，两个隧穿机制对偏压的依赖关系不一样，直接隧穿是对V的线性依赖关系，而FN对V是指数依赖关系。这个可以作为区分他们的一个特征。（从朗道输运公式出发进行推导，可以发现这一区别主要是不同势垒形状下T（E）的区别导致，电压与三角势垒的最低点对应能量位置有线性依赖关系）。

实际上，根据朗道方程建立对隧穿概率的简化表达式，可以得到不同的隧穿方程和热发射方程。

缺陷辅助隧穿

FP隧穿或说(POOLE-FRENKEL tunneling )TAT隧穿描述的是载流子在电场驱动下，通过在绝缘介质中的局域化的trap态间“跳跃“渡过势垒，每一次跳跃过程不需要跨过太大的势垒，因此只需要较少的能量，乃至热扰动就可驱使这一过程完成。

其表达式如下：

（图片来源于网络：Physics:Poole–Frenkel effect - HandWiki）

具体推导可以参见网页：3.8.1.3 Compact Trap-Assisted Tunneling Models (tuwien.ac.at)

下图很形象的描述了各种隧穿机制的区别

（图片来自于网络：3.1 Tunneling Mechanisms (tuwien.ac.at)）

热发射

在结型器件中，尤其是异质结或者金半结，在其异质界面会产生电子或者空穴的势垒，热发射机制主要指通过直接越过势垒的输运过程。

热电子发射理论是bethe提出的，其从电流的定义出发，考虑金属和半导体界面，根据载流子浓度的定义式可以写出：

速度项v可以通过E来得到（这里假设全部能量均为动能）

考虑金属流向半导体和半导体流向金属侧的电流分量，最后可以得到：

我们也可以从朗道公式出发得到类似结果（T（E）=1，从势垒顶部开始积分）。这一公式的推导基于了一系列的模型简化和假设，比如没有考虑界面能动量失配导致的散射，也没有考虑界面不理想的影响。如果不考虑热载流子发射，而只考虑漂移扩散过程，可以得到类似的结果：

但是此时饱和电流密度和偏压有关而对温度不敏感。这一形式也是pn结或者说大部分两端结型器件所遵从的形式，其I-V图上表现出典型的整流特性。

在金属半导体结中，对于势垒高度还要考虑镜像力的作用，镜像力使势垒降低：

势垒降低后的热发射为：

在实际情况下，热发射和隧穿机制是共同存在乃至协同作用的，比如Fowler等人在1928年就提出更加普适的热辅助隧穿公式，使得其在较大的温度和电压区间都适用[4]：

此外当势垒某侧的材料中靠近势垒位置处，受到某种激发（光激发、电激发）产生热载流子时，会产生热载流子场发射（热辅助隧穿）。与前面讨论的隧穿不同的是这里说的热载流子场发射是热载流子的隧穿过程或者说非平衡载流子的隧穿过程。注意这里说的热载流子和非平衡载流子在概念上还不太一样，热载流子是载流子体系被激发后通过载流子体系内部的相互作用，又重新达到了一个新的费米-狄拉克分布，只不过载流子体系未与晶格和外部环境达到热平衡，因此该分布具有比晶格和环境更高的温度。非平衡载流子是完全处于非平衡态的高能载流子，其能量分布不满足特定的热力学统计分布，因此也不能用温度的概念定义。

对于基于准平衡态的热载流子，考虑其输运时需要把费米狄拉克分布里的平衡态冷电子温度T0（To为晶格温度）换成热电子的温度。而对于非平衡的高能电子，需要考虑其能量位置及其分布。

热发射公式常用于描述肖特基结的输运特性，其也可以直接从朗道公式直接推出。实际上，直接从朗道公式出发进行推导可以得到更准确的表达形式。尤其是当将传统的肖特基结热发射公式直接用于一些新材料，尤其是低维材料体系时可能会失效。比如，就推导了在石墨烯-硅结构下，其输运公式和金属-硅肖特基结不完全相同[5]。

注意到这几种机制往往在器件，尤其是异质结型器件中同时存在，不过根据其表达式可以看到，常见的机制（比如隧穿和热发射）对温度、电压的依赖关系不同，而这一特性可以利用来区分不同的电流机制。

实际输运中还有很多有趣的输运机制，比如弹道输运、雪崩、强电场下的输运、空间电荷限制电流(SCLC ,space charge limited current)等。后面有机会再进行讨论。

上面讨论的各种输运方程对应的都是特定的输运过程，在实际器件中，多种输运过程通常是同时存在、相互协同、或相互竞争的。此外，对于器件而言，某些过程仅仅是输运全过程中在特定区域才发生的，比如说热发射公式主要描述的是度越势垒的过程，而对于器件而言，度越势垒仅仅是整个输运过程中的一环，在越过势垒前和越过势垒后还有在不同材料中输运的过程，越过材料和接触界面的过程等，最后器件表现出来的是各种输运机制作用下的综合结果，要把所有机制都分解出来往往十分困难，一般我们只考虑主要作用机制。

此外, 对于不同的器件体系、或者对其进行不同层面的研究时，需要从不同的角度对整个器件体系进行分析建模，比如分别从量子和经典的角度进行分析，里面的一些参数也同样如此，比如迁移率，我们一般习惯从

进行估算，但是往往实际测试中和这一估算值不同，这是因为实际迁移率受到不同散射机制的作用，而有效质量主要考虑了晶格内的原子实周期性势场对电子输运的影响，散射的作用作为微扰势似乎只包含在t里面，要建立更加准确的迁移率计算模型需要从量子角度（Fermi’s Gloden Rule 建立散射矩阵）考虑不同散射机制的作用。

说到分别从不同角度去看待输运问题，Ansgar在其著作Transport Equations for Semiconductors中也有很好的介绍。从fluiddynamical角度可以推出漂移扩散方程，从kinetic角度可以得到玻尔兹曼方程，从量子角度，即解薛定谔方程。实际上这几个方程虽然是从不同角度得到，其相互之间也可以建立联系，比如，从薛定谔方程出发，引入有效质量和波包群速度近似后，载流子的运动可以从牛顿定律出发建立物理模型去描述其输运过程。Ansgar在其著作中解释了几个半经典模型之间的联系（见下图）.

（图片来自于：Transport Equations for Semiconductors）

器件类别

对应特定的器件，前人已经建立了基于compact model的电流-电压方程。这些方程主要考虑器件的输入和输出关系，而对其具体机制不进行深究。基于compact model的电流-电压方程可以定性和半定量的描述器件行为，在其基础上针对特定的器件进行数据采集和拟合校准后可以建立仿真所需要的SPICE模型。这里对这些常见器件的电流电压公式进行一个简要的总结。

PN结

肖特基结

BJT

JFET

MOSFET

总结

载流子的输运模型可以在不同的层面进行建立，也可以从不同的角度进行建立，当其量子效应比较明显时，要从量子输运角度进行分析和推导，当器件相对宏观，可以只从经典模型进行近似和分析，对于成熟器件和成熟材料，可以基于经验的compact model进行输入输出特性的分析。对于电路级别的分析，还可以直接画出各个器件的小信号电路模型进行输入输出响应的讨论。本文也只是抛砖引玉的总结和说说自己的看法（虽然写的有点像笔记），对输运这方面还有很多不懂不会的地方，有不对之处还望指点纠正！

（虽然但是，引用和转载请说明出处，谢谢）

相关推荐书籍

[1]Quantum Transport, Supriyo Datta

[2] 半导体器件物理，施敏

[3] fundamentals Of Carrier Transport，Mark Lundstrom

[4] Transport Equations for Semiconductors, Ansgar J¨ungel

参考文献（包括以上推荐书籍）：

[1]M. Lenzlinger and E. H. Snow, "Fowler‐Nordheim Tunneling into Thermally Grown SiO2," Journal of Applied Physics, vol. 40, no. 1, pp. 278-283, 1969.

[2]"Determination of the Fowler–Nordheim tunneling parameters from the Fowler–Nordheim plot.mohammad."

[3]G.-H. Lee et al., "Electron tunneling through atomically flat and ultrathin hexagonal boron nitride," Applied Physics Letters, vol. 99, no. 24, 2011.

[4]"1928_PRSL_Fowler_Nordheim_electron_field_emission."

[5]D. Sinha and J. U. Lee, "Ideal graphene/silicon Schottky junction diodes," Nano Lett, vol. 14, no. 8, pp. 4660-4, Aug 13 2014.