增量式PID公式的4点疑问和理解

一开始见到 PID 计算公式时总会问“为什么是这样子的一道公式”，为了理解那几道公式，当时将其未简化前的公式活生生地算了一遍，现在想来，这样的演算过程固然有助于理解，但假如一开始就带着对疑问的答案已有一定抽象了解后再进行演算则会理解的更快！

首先推荐白志刚的《由入门到精通—吃透 PID 2.0 版》看完一、二章之后，建议你先通过实践练习然后再去看书里接下来的其他章节，这样你对这本书的掌握会更加高效。

PID 就是对输入偏差进行比例积分微分运算，然后将运算的叠加结果去控制执行机构。实践练习中，如何把这一原理转化为程序？为什么是用那几个 error 进行计算?

以下是我摘录的一段 PID 程序，我曾用其对智能车的速度进行闭环控制：

P：Proportional  比例

I：Integrating 积分

D：Differentiation 微分

Pwm_value：输出 Pwm 暂空比的值

Current_error：当前偏差 

last_error：上次偏差   

prev_error：上上次偏差

增量式 PID 计算公式： 

P=Kp*(current_error﹣last_error)；

D=Kd*(current_error﹣2*last_error﹢prev_error)；

I=Ki*current_error；

PID_add=Pwm_value+P﹢I﹢D；

一、为什么是 PID_add=Pwm_value+（P﹢I﹢D）而不是 PID_add=P+I+D？

如上图，有一个人前往目的地 A，他用眼睛视觉传感器目测到距离目的地还有 100m，即当前与目的地的偏差为 100，他向双脚输出Δ=100J 的能量，跑呀跑，10s 之后，他又目测了一次，此时距离为 40m，即 current_error=40，他与 10s 前的偏差 last_error=10 对比，即 current_error - last_error=-60，这是个负数，他意识到自己已经比较接近目的地，可以不用跑那么快，于是输出Δ=100+(-60)=40J 的能量，40J 的能量他刚好以 4m/s 的速度跑呀跑，10s 之后，他发现已经到达目的点，此时 current_error=0，大脑经过思考得出 current_error—last_error=0 - 40=-40，两脚获得的能量Δ=40+(-40)=0，即他已经达到目的地，无需再跑。在刚才的叙述中，可知增量式 P+I+D 输出的是一个增量，将该增量与调节量相加后所得到值才是最终输出量，其反应的是之前的输出量是在当前的状态中是该增加还是该减少。

二、纯比例控制 P=Kp*(current_error﹣last_error)，怎样理解﹙current_error﹣last_error ﹚？

PID 中纯比例控制就是把被控制量的偏差乘以一个系数作为调节器的输出，在增量式 PID 中，反映在程序上的，我们被控制量就是 error，而实际上，例如在速度控制中 error=目标速度﹣当前速度，所以明确目的：我们通过控制 error 趋近于 0，最终使得当前速度趋近于目标速度。

如上图，函数经过时间Δt，由 y1 变化为 y2 时，问 y 增长的比例为多少？很显然：K=﹙y2-y1﹚/Δt；

以速度控制为例，若 y 为 error，如上图，在时间 t1 到 t2 的过程中，我们可以得到输出控制量 error 变化的趋势为(current_error - last_error)/Δt。得到偏差的变化趋势后，乘以 Kp 使输出量与 error 相对变化。这个道理犹如模拟电子电路中，声音信号经过功放管放大输出的信号与输入信号相对应的线性变化。

三、引进微分控制？

然而，通常情况下，我们的被控制量并非纯比例式地变化，如下图：

比例表示变化趋势，微分则表示变化趋势的变化率，映射到一个图像曲线中即为导数的变化！上图中若求曲线中 x2 至 x1 某点的斜率，当Δt 足够小时，则可近似为(y2 - y1)／Δt ，可知 x3 到 x1 导数的变化为﹛(y3 - y2) -(y2 - y1)﹜／Δt ＝(y3 - 2*y2﹢y1)／Δt 。将不同时间的 y1、y2、y3 映射为 prev_error、last_error、current_error；则 error 变化趋势的变化为﹛(current_error - last_error) - (last_error - prev_error)﹜／Δt=﹛﹙current_error - 2*last_error﹢prev_error﹚﹜／Δt，可得微分 D=Kd*(current_error﹣2*last_error﹢prev_error)。在系统中加入微分反映系统偏差信号的变化率，能预知偏差变化的趋势，具有超前控制作用，提前处理偏差。

四、引进积分控制？

积分控制可以消除偏差，体现在公式中较容易理解，当前的偏差差经过系数 Ki 的放大后映射为输出控制量，即 I=Ki*current_error。P 只要前后偏差之差为 0，即 current_error - last_current=0，则不进行调节，D 只要前后偏差变化率为 0，即(current_error﹣2*last_error﹢prev_error)=0，则不进行调节。而对于积分只要偏差存在，调节就始终进行，因此积分可以消除误差度，但在在某些情况下，一定范围内的误差是允许的，而如果此时积分调节始终存在，可能会导致系统稳定性下降，如上图，此时可通过弱化积分系数 Ki 使系统稳定。