芯耀
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结构动力学中很多原理都是以微分方程形式描述的，如离散系统的振动方程是矩阵形式描述的常微分方程，连续系统的振动方程则是以偏微分方程进行描述。具体数值求解时，将关于时间变量或空间变量的微分形式转变为差分形式，得到一系列代数方程后再进行迭代求解，其中关于时间变量的不同差分迭代格式就分为显式格式和隐式格式两种。本文首先对数值分析的几个基本概念进行讨论，为后续的显式和隐式分析作铺垫。
绝对误差和相对误差
误差一般可以分为绝对误差和相对误差两类，绝对误差是数值解和精确解之间差距的直接度量；相对误差则是一个“归一化”的误差度量，是相对于精确解的一个比值。如数值近似解为y*，而精确解为y，则：
绝对误差为：
ErrorAbs=y-y*
相对误差为：
ErrorRel=(y-y*)/y
数值计算中，虽然误差是不可避免的，但是我们应尽可能的减少误差对结果的影响，一般有如下原则：
除法时，避免除数绝对值小于被除数绝对值的情况，否则舍入误差会变大
减法时，避免两个大小近似的数相减，否则会损失有效数字
避免大数“吃掉”小数的情况，否则会因为计算机位数限制覆盖小数的情况
减少运算次数，可以减少舍入误差并提高效率
病态问题和条件数
对于一个实际的数值计算问题，如果输入由于测量误差或数值舍入误差有小扰动而输出有一个大的扰动，则成为病态问题，反之称为良态问题。那么我们需要引入一个定量指标来描述问题的病态程度，即条件数。
如果输入自变量x有一个小扰动Δx=x-x*，引起的输出因变量y的扰动为
Δy=y-y*，则自变量x和因变量y的相对误差比值定义为条件数Cp，即：
Cp=|(Δy/y|/|Δx/x|≈|(xy,(x))/y|
如果Δx很小而条件数Cp很大(大于10)时，称为病态问题；反之则为良态问题。
如y=f(x)=x^10,条件数Cp=10，取x=1.0和1.01,则对应的y值分别为1.0和1.10，x和y的相对误差分别为1%和10%，结果误差放大10倍；若y=f(x)=x^0.1，条件数Cp=0.1，则x和y的相对误差分别为1%和0.1%，结果误差缩小10倍。
算法的稳定性
一般来说稳定性是描述方程的数值解波动性大小度量。若初值的小扰动或不同的舍入误差都不会引起数值解的较大波动，我们就说算法是稳定的，否则就是不稳定的。我们用一个简单的例子来说明稳定性和非稳定性。
求解非线性方程的根：x=exp(-3x)；
迭代格式：xk+1=exp(-3xk)；
初值x0：分别取0.4和0.41；
误差函数：Error= xk+1-xk；
误差函数Error如图所示，虽然初始值x0有扰动0.01，但随着迭代次数的增加，不同的初值并未导致解x的显著放大，而是趋于一致，说明此迭代算法是稳定的。
求解一元二次方程的根：x^2+62.10x+1.000=0；
求根格式:x1=-b/2a+sqrt(b^2-4ac), x2=-b/2a-sqrt(b^2-4ac)
精确解：x1=-62.083892，x2=-0.016107；
数值解(4位有效数字): x1=-62.08，x2=-0.02000
由于62.102>>4*1.000,因此计算x2时就会出现舍入误差，进而导致最后的结果不正确，说明此种求根格式是不稳定的。
算法的收敛性
一般来说收敛性是描述方程的数值解趋向于精确解的度量。在迭代过程中，如果数值解随着迭代次数的增加趋近于真实解，则算法是收敛的，否则是发散的。
我们仍然以求解非线性方程的根：x=exp(-3x)为例说明收敛性；
迭代格式：xk+1=-1/3*ln(xk)；
初值x0：0.6；
误差函数：Error= xk+1-xk；
解和误差函数的迭代历程如图所示，随着迭代次数的增加，误差函数Error趋近于0，解x趋近于真解0.35，说明此算法是收敛的。
绝对收敛：无论初始值如何取值，算法均收敛到相同的解；
条件收敛：初始值需要满足一定的范围时，算法才能收敛到相同的解；
上例中，如果初始x=0.1和x=0.7，则算法是不收敛的；如果初始x的取值在区间[0.2,0.6]时，则算法是收敛的。
值得注意的是，一个数值计算方法的稳定性和收敛性并无直接关系，即稳定不一定收敛，收敛不一定稳定，但我们所追求的是收敛且稳定的算法。
最后
本文对数值计算中的一些基本概念做了简单的讨论，作者水平有限，观点仅供参考，下文我们讨论结构动力学数值计算方法中显式法和隐式法的分类。
