卡诺图是逻辑函数的一种图形表示。一个逻辑函数的卡诺图就是将此函数的最小项表达式中的各最小项相应地填入一个方格图内,此方格图称为卡诺图。卡诺图的构造特点使卡诺图具有一个重要性质:可以从图形上直观地找出相邻最小项。两个相邻最小项可以合并为一个与项并消去一个变量。

1.什么是卡诺图

什么是卡诺图

(图片来自于网络)

 

2.卡诺图化简法

组合电路逻辑关系的图形表示法可以追溯到英国逻辑学家约翰·维恩(John Venn)1881年发明的在集合论中处理集合间逻辑关系的文氏图(Venn diagram),赫尔姆·哈斯(Helmut Hasse)有效地利用Vogt在1895年用过的哈斯图(Hasse diagram)来表示序理论中的有限偏序集,爱德华·维奇(Edward W. Veitch)在1952年将维恩图中的圆形改画成矩形而发明了维奇图(Veitch diagram)。但这些图都不如美国贝尔实验室的电信工程师莫里斯·卡诺(Maurice Karnaugh)在1953年根据维奇图改进的卡诺图(Karnaugh map)或K图(K-map)在数字逻辑、故障诊断等许多领域中应用广泛。


性质


卡诺图的构造特点使卡诺图具有一个重要性质:可以从图形上直观地找出相邻最小项合并。合并的理论依据是并项定理AB+AB反=A。例如,
根据定理AB+AB反=A和相邻最小项的定义,两个相邻最小项可以合并为一个与项并消去一个互反变量。例如,4变量最小项ABCD和ABC反D相邻,可以合并为ABD;A反BCD和A反BC反D相邻,可以合并为A反BD;而与项A反BD和ABD又为相邻与项,故按同样道理可进一步将两个相邻与项合并为BD。


用卡诺图化简逻辑函数的基本原理就是把上述逻辑依据和图形特征结合起来,通过把卡诺图上表征相邻最小项的相邻小方格“圈”在一起进行合并,达到用一个简单“与”项代替若干最小项的目的。


通常把用来包围那些能由一个简单“与”项代替的若干最小项的“圈”称为卡诺圈。

 
函数


逻辑函数未用最小项表示照样可以化简。如果F采用与—或表达式,在填入卡诺图过程中就能把函数展开成最小项。


具有无关项的化简


无关项又叫任意项,是一种最小项,其值可以取0或1。利用无关项这一特点,可以使函数简化。


用卡诺图化简逻辑函数的步骤


如果表达式为最小项表达式,则可直接填入卡诺图


如果表达式不是最小项表达式,但是是“与—或表达式”,可将其先化成最小项表达式,再填入卡诺图。也可直接填入。


合并相邻的最小项,即根据下述原则画圈


尽量画大圈,但每个圈内只能含有2n(n=0,1,2,3……)个相邻项。要特别注意对边相邻性和四角相邻性。


圈的个数尽量少。


卡诺图中所有取值为1的方格均要被圈过,即不能漏下取值为1的最小项。


在新画的包围圈中至少要含有1个末被圈过的1方格,否则该包围圈是多余的。


写出化简后的表达式。每一个圈写一个最简与项,规则是,取值始终为1的变量用原变量表示,取值出现过0的变量用反变量表示,将这些变量相与。然后将所有与项进行逻辑加,即得最简与—或表达式。


在进行化简时,如果用图中真值为0的项更方便,可以用他们来处理,方法和真值取1时一样,只是结果要再做一次求反。

 

3.卡诺图怎么看怎么画

卡诺图是逻辑函数的一种图形表示。卡诺图是一种平面方格图,每个小方格代表逻辑函数的一个最小项,故又称为最小项方格图。方格图中相邻两个方格的两组变量取值相比,只有一个变量的取值发生变化,按照这一原则得出的方格图(全部方格构成正方形或长方形)就称为卡诺方格图,简称卡诺图。


结构特点


卡诺图中最小项的排列方案不是唯一的,变量的坐标值0表示相应变量的反变量,1表示相应变量的原变量,变量的取值变化规律按“循环码”变化。各小方格依变量顺序取坐标值,所得二进制数对应的十进制数即相应最小项的下标i。



在五变量卡诺图中,为了方便省略了符号“m”,直接标出m的下标i。


归纳起来,卡诺图在构造上具有以下两个特点:


☆ n个变量的卡诺图由2^n个小方格组成,每个小方格代表一个最小项;


☆ 卡诺图上处在相邻、相对、相重位置的小方格所代表的最小项为相邻最小项。


可以从图形上直观地找出相邻最小项。两个相邻最小项可以合并为一个与项并消去一个变量。