TRP的计算公式-2

上一篇中，我们从TRP的离散化公式，以及积分公式大概了解了TRP的公式推导和来源。需要说明的是，实际测量中所使用的离散化公式都是基于在方向性暗室（例如远场，紧缩场，近场）中，基于球面各角度样点的EIRP的测量，最终计算得出TRP。如果在非方向性暗室例如混响室中，由于测试原理的差别，是可以直接得出TRP结果的，所以这些公式并不适用。

本篇再来看TRP另外的公式表达。

01、麦克斯韦方程

TRP的另外的公式表达，与麦克斯韦方程的表达方式有关，所以我们先来回顾一下麦克斯韦方程。对于有些通信专业的同学，可能并没有深入学习过电磁场理论，但工作以后发现自己要搞OTA测试，又必须要面对这些理论。

麦克斯韦电磁学方程组，是关于电场和磁场的最重要的方程组，也被称为世界上最漂亮的物理公式之一。电场和磁场的特性最初是由奥斯特和法拉第发现的，奥斯特发现了变化的电场可以产生磁场，法拉第发现了变化的磁场可以产生电场。但他们最初并不能从数学上解释这一现象，直到麦克斯韦的出现，他比法拉第小了四十多岁，他第一次用数学的公式解释了电磁场的规律。

麦克斯韦方程组通常由四个方程组成，分别是基于高斯电场定律，高斯磁定律，法拉第感应定律和麦克斯韦-安培定律。有积分形式和微分形式，等等。我们这里主要借鉴前两个公式的积分表达方式：

首先看麦克斯韦方程组的第一个关于电场的积分方程。电通量：简单的理解就是通过一个曲面的电场线的根数，如果每跟电场线强度并不均匀，则可以写成积分的形式，如下图公式的左半部分， ∯就是通量的符号，E表示电场，dS就是在闭合曲面的积分。右边是总电荷与真空介电常数ε0的商。说白了就是一个闭合曲面的电场跟包围的总电荷多少有关，电场是一个有源的场，是有出发点的，因为中间有电荷，能量向外发散，如图所示。

第二个方程关于磁通量，磁场跟电场不太一样，每一个磁感线都是闭合的线，无论怎么取闭合曲面，磁场线都是既要穿入，也要穿出，所以闭合曲面的磁通量，应该是0。磁场是无源场。如下图所示：

借鉴麦克斯韦方程中通量的写法和定义，TRP其实也是对一个闭合曲面的能量的积分，我们可以将TRP写成通量的表达式如下：PD为穿过单位面积的功率密度，对面积dS进行积分，则：

02、坡印亭矢量

进一步地，还可以引入坡印亭矢量，将功率密度与电场和磁场进行关联。所以我们来看一下坡印亭矢量：如果空间某处的电场强度为E，单位是V/m，磁场强度为H，单位是A/m，那么这一点的坡印亭矢量为S=E×H*，单位即为W/m2，方向由E和H按右手螺旋定则确定，沿电磁波的传播方向。

所以我们发现，其实上一步中的功率密度PD可以用坡印亭矢量来替代，拆成电场与磁场的分量，TRP的公式又可以写成下式：

其中，Re代表取复功率的实部，代表电场强度和磁场强度同相的部分。图片为垂直于表面且从表面外指的单位矢量。

电场和磁场强度，可以分解成沿着曲面的切线方向和径向方向这两个垂直的分量。在远场区域，远场距离足够大的情况下，径向分量可以忽略，那么就只剩下切向的分量。并且远场区域中，E和H的方向互相垂直。二者都与传播方向正交，那么E和H的幅度关系可以这样来写：

其中，

是真空固有的阻抗377欧姆。所以TRP又多了一个可以用电场强度来表示的公式：

03、TRP与测试距离

TRP的通量公式表示法，能让我们想到什么呢？

上一篇中我们曾提到过，TRP与测试距离的选择无关，就是说远场，近场，紧缩场，都可以准确测量TRP。但其实，测量天线与包围的被测设备的最小球体之间的最小距离，还是有限制的。

首先，是我们熟知的远场距离公式：DMA是测量天线的尺寸

其次，测量天线应采样一个近似恒定的场。则需要满足：

其中Rsph是包围EUT的最小球体的半径。r0规定了给定测量天线尺寸w的最小测试距离。

然后，测试距离必须距离包围EUT的最小球体至少有两个波长。也就是r0>Rsph +2λ。

为什么可以这样呢？TRP可以不需要在远场距离上进行测量。我们根据上面的麦克斯韦通量公式，得知：测量被测设备周围球体上的功率密度通量TRP，可以使用小的测试距离（与远场相比）的理由是，从被测设备辐射出来的任何数量的功率也将通过包围此设备的任何球体辐射出来，即能量守恒。

以下是一个例子，对于使用与EUT不同距离的功率密度数据来评估TRP，下图是在同一EUT的（a）0.75米，（b）2.5米和（c）30米三处进行采样。满足远场距离的只有c为30米。角度pattern会随距离变化，但结果是TRP的全球积分偏差小于0.065dB。下图中c虽然功率密度较低，但测量球体的总面积变大，所以最后的积分结果仍然不变。

结论：使用麦克斯韦方程的通量公式表示法，可以很好地解释TRP的测试为什么可以使用更小的测试距离，而不一定使用远场距离。