遇到一些朋友说信号处理真难,学是很辛苦的学了,就是不知道怎么用。学而不能致用,如此辛苦的学习就有点费时费力了。当然本文也并非想说学必致用,有的东西学了还真不见得能用上。只不过学过的,想用的要会用则达到学的目的了。此言:学以致用,学能致用!谨与诸君共勉!

 

很多时候,为什么学而不能致用呢?没有用的需求,当然就不说了。往往不会用,是因为不知道怎么去用,而不知道怎么用,个人觉得很重要的原因是因为很多基础的概念没有理解到位,对于工程技术人员而言,对于基础概念的理解把握,往往决定了解决问题的方向、思路、深度。以信号处理来说,里面就有大量的基础概念需要真正去理解。本文就来聊聊如何去描述度量信号的几个概念。

 

均值

信号处理中一个最为简单的概念就是均值(Mean),和你想的一样,加起来除以样本数量:

 

在学习DSP时,要习惯各种数学表示的方案,比如这里 就是表示求和,表示从开始求和。为了让都能看懂,这个公式换一个表达形式:

 

所以就是更为简洁的描述求和的数学语言。

 

对于这个公式在延申一下,这里是离散信号,如果是离散概率序列,对于确定的其概率为,则这样的离散概率分布序列,其均值则为:

 

其实,对于前一公式也可以用概率均值去理解,看成N个样本集合,则每一个样值其概率就是!

 

那么研究均值有啥意义呢?其实一般对于原始样本直接计算均值可能意义不是特别大,但是基于均值衍生的其他统计量则非常有价值,比如接下来要说的标准偏差,简称为标准差。

 

平均偏差

在谈标准差之前,先谈谈平均偏差。何为平均偏差,严格讲应该称为平均绝对偏差(Average Absolute Deviation),在谈平均绝对偏差前,先谈谈绝对偏差,绝对偏差,从字面意义上理解,很容易可以想到其计算这样是这样得来,由某样本与均值的差的绝对值:

 

那么平均绝对偏差,所差的就是一个平均了:

 

来试着理解一下这个公式,是任一样本与该样本集均值的差的绝对值,表示的是该样本与均值的偏离程度,每个样本与均值的偏离程度之和再求平均,则就是字面意思了,所有样本与平均值的偏离程度,故称为平均偏差。

 

平均偏差可以反应样本点与均值的平均偏离程度。

 

标准偏差

标准偏差(Standard Deviation)与平均偏差(Average Deviation)类似,也是基于平均值的统计量。所不同的是,标准差是利用样本与均值绝对偏差的平方和求取的。

 

标准差反应信号相对平均值的波动程度。标准差数值越小,反应信号数值分布更靠近平均值,反之越大则表示信号相对平均值更分散

 

标准偏差根据样本是研究样本的总体,还是只是收集的部分样本而分为两种情况:

 

  • 总体标准偏差样本标准偏差

 

总体标准偏差

如果仅将数据视为总体,则可以将其各点绝对偏差之和除以数据点总数N,而后开平方:

 

样本标准偏差

如果待研究的数据看成待研究系统数据的部分,则可以将其各点绝对偏差之和除以数据点总数N-1,而后开平方:

 

看到这个公式,有的盆友或许会问,为啥除的是N-1?而不是N!所以这个就是对这个概念需要理解的一个点:

 

这里计算的是样本的标准偏差,总体标准偏差公式是基于正态分布推导而来,所以总体标准差公式是除以N,而在应用中,不是数学统计的意义,只能以有限的样本序列去近似描述总体的特征,除以N-1是一种无偏估计,所谓无偏估计,是指无偏性,无偏性的实际意义是指没有系统性的偏差。在多次重复下,它们的平均数接近所估计的参数真值。

 

我们计算这个参数,就是想利用这个参数去反应样本序列集的客观特征,所计算的样本序列往往可能只是截取的数据段,并非所有的数据样本。在信号处理中,我们拿到的数据一般而言都是系统的部分样本,所以实际使用中应该使用样本标准差进行计算。

 

对于标准偏差的理解,还有一层需要理解透,它的量纲仍然是原样本的量纲,比如研究的是电压信号,单位为伏,则计算而得的标准偏差依然是伏。

 

有趣的栗子

在国外网站上看到一组有趣的图片,可以更好的帮助理解:

 

https://www.mathsisfun.com/data/standard-deviation.html

 

假设有这样几种可爱的狗狗:其身高分别为:600mm, 470mm, 170mm, 430mm, 300mm.

 

 

则其均值为:

 

所以上图中用绿色线标识下身高均值:

 

 

从而每个狗相对均值的偏差如下图:

 

 

从而,其标准差则为:

 

然后再标识一下每个狗的身高

 

 

上图可看出第2、4、5个狗的身高与均值的偏差在一个标准差内,而第1、3只狗身高与均值超出了一个标准差。标准差概念也经常用来衡量产品的生成品质,比如你常听到的说法,这个零件的加工偏差是否在一个标准差内,这里的标准差就是标准偏差的意思。

 

上面的公式如果不开平方,这就是常说的方差了,类似有两种概念:

  • 样本方差:
  • 总体方差:

 

再来个栗子

前面说标准差,常用来衡量数据的分布情况:

 

标准差反应信号相对平均值的波动程度。标准差数值越小,反应信号数值分布更靠近平均值,反之越大则表示信号相对平均值更分散

 

为啥这样说,看看下面这个栗子就好理解了:

 

假设有这样三组数据,假定这三组数据来自三个同类型传感器的采样值,对相同的外界多次采样(这里为了说明问题,请不用考虑数据本身的合理性),我们来计算一下其均值、平均偏差、样本标准差。

 

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19
2 4 5 7 8 9 13 15 13 24
3 5 5 7 7 8 10 12 13 30

 

三组数据连同其均值绘制成曲线:

 

 

第1组:

第2组:

第3组:

 

从曲线图我们可以很直观的看出第1个传感器表现更好,那么如何用一个特征值来区分呢?如用平均绝对偏差显然并不能很好的描述,三组数据均值相同,无法区分三个传感器的表现,因为计算出平均绝对偏差相同。如用样本标准差进行度量,则可以得出:

 

其物理含义,表示第1组数据分布程度相对更为靠近平均值。

 

总结一下

均值、平均偏差、标准偏差、方差是信号处理几个基础概念,尤其标准差、方差在很多复杂的滤波算法、估计算法中是重要的理论基础概念。所以准确的理解这些概念,也是能理解更为复杂的算法的基础。所谓基础不牢、地动山摇!