芯耀
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1 简介
利用混沌地图可以使初始种群的分布更加均匀，从而提高了空间探索率。考虑到这些优点，本文尝试设计基于混沌地图的搜索操作，并开发了一种新颖的元启发式算法，称为Logistic-Gauss Circle优化器。该算法将Logistic和Gauss地图合理组合并重新制定为Logistic-Gauss搜索（探索）；将Circle地图重新制定为Circle搜索（开发）。通过这两种操作，所提算法实现了全局优化。通过与5种高质量元启发式算法在10个基准函数上的对比分析，验证了所提算法的性能。
2. Logistic-Gauss Circle
在本节中，我们首先探讨 Logistic-Gauss Circle (LGC) 优化器的灵感来源。随后，我们介绍 LGC 的数学公式，接着详细描述其运行机制的流程图以及相应的算法伪代码。
2.1. 灵感来源
“混沌”一词通常用于描述那些表现出不确定性、非线性和对初始条件高度敏感的复杂系统的行为。混沌现象是一种伪随机行为，通常表现为看似随机但实际上有序的现象[31]。这种行为本质上通常是非线性的。许多研究表明，使用混沌映射进行种群初始化可以显著提高元启发式算法的性能。那么，如果将混沌映射设计为搜索操作，它能否显示出类似的优势？在这个问题的驱动下，我们大胆地将 Logistic、Gauss 和 Circle 混沌映射结合起来，从探索和开发的角度设计搜索操作。Logistic、Gauss 和 Circle 混沌映射描述如下：
Logistic 混沌映射 [32]
是一个简单但至关重要的非线性离散动力系统，被广泛用于研究混沌行为。Logistic 混沌映射定义如公式 (1) 所示。
其中 zk 表示第 k 次迭代的状态量，其值范围在 0 到 1 之间；控制参数 r 则通常在 0 到 4 之间取值。假设 z0=0，如果 rε(0，1]，z 最终将收敛到 0；如果 rε(1，3]，z 将表现出具有周期性的值；当 r→3.57 时，出现混沌状态；如果 r ε (3.57，4]，z 表现出混沌状态。
Gauss 混沌映射
是研究混沌行为的另一个重要模型。它特别适用于保守系统和哈密顿动力系统的研究。Gauss 混沌映射的定义如公式 (2) 所示。
Circle 混沌映射
是用于分析非线性动力系统和混沌行为经典模型的常用工具。它特别适合研究周期性行为和同步现象。Circle 混沌映射的定义由公式 (3) 给出。
其中 Ω 表示外部驱动频率，k 表示非线性耦合强度。Circle 混沌映射的行为对 Ω 和 k 的值高度敏感。 Ω 和 k 的各种组合决定了 Circle 混沌映射的收敛性、周期性和混沌动力学。
需要指出的是，混沌映射的种类很多。在我们有限的尝试中，我们发现对这三种混沌映射的整合与重构可以发展成为一种高效的元启发式算法（即本文提出的 LGC），这就是我们选择这三种混沌映射的原因。然而，这并不意味着只有这三种混沌映射可以被发展。由于本文篇幅有限，我们只介绍我们已成功开发的 LGC，而不讨论其他混沌映射是否可以被开发。鉴于 LGC 的成功，我们相信其他混沌映射的合理整合与重构同样可以发展为优秀的元启发式算法。
2.2. 数学模型
在本小节中，我们详细描述了 LGC 的数学模型，包括初始化、Logistic-Gauss 搜索（探索）和 Circle 搜索（开发）。
2.2.1. 初始化
与其他元启发式算法一样，LGC 采用随机初始化。假设 d 个变量的上界是 u，下界是 l。此外，我们假设种群大小和最大迭代次数分别为 n 和 T。种群初始化定义在公式 (4) 中。
其中 r1 是一个从 0 到 1 均匀分布的随机数； x i,j 表示第 i 个解的第 j 个变量；uj 和 lj 分别表示上界和下界的第 j 个变量。此外，初始化后的种群如公式 (5) 所示。
更好的探索和开发之间的平衡可以提升 LGC 的优化结果。在本文中，定义了平衡算子 来判断 LGC 执行探索还是开发操作。算子 通过存在的计算方法定义在公式 (7) 中。
2.2.2. Logistic-Gauss 搜索（探索）
其中 r2 是一个从 -1 到 1 均匀分布的随机数；xi,j 是第 i 个体位置的第 j 个变量。
公式 (8) 表现出的随机探索可能会将候选解推出边界。将超出边界的变量直接处理为等于边界的简单方法可能会降低探索能力。因此，我们定义了公式 (9) 的边界处理方法，灵感来自 Gauss 混沌映射（公式 (2)）。
Ref：Wang J , Gao Y , Qin L ,et al.Logistic-Gauss Circle optimizer: Theory and applications[J].Applied mathematical modelling, 2025:143.DOI:10.1016/j.apm.2025.116052.
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