芯耀
与非AI
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一、集中参数分析 VS 分布参数分析
1、什么是集总参数分析？
电子电路的集总元件模型基于这样的简化假设：电路的属性（如电阻、电容、电感等元件，以及电压增益、电流增益等增益特性）都集中在理想化的电子元件中，这些元件通过理想导电导线构成的网络连接。当我们提及理想化电子元件时，是假设这些元件为理想元件，且通过导线连接。
下面的示意图将说明什么是集总分析：图中展示了一个与电阻相连的电感器。根据集总分析，我们可以认为串联通过这两个元件的电流是恒定的（基尔霍夫定律），即 i1 = i2 = i3。这就是集总分析 —— 其中包含 L、R、C 等理想化电子元件。
集总分析的另一个示例如上图所示。如果我们尝试通过求解每个节点的电压来分析电路，会发现节点a的电压等于节点b的电压。这就是集总分析：我们只关注元件本身，而忽略元件之间导线的存在。集总分析适用于小型集成电路——但问题在于，集总元件模型何时成立？我们何时可以使用集总分析？
当元件尺寸（Lc）远小于波长时，集总元件模型成立。通常假设元件长度应小于0.1λ。
波长与频率成反比，因此需注意：当频率升高时波长（λ）会减小，这意味着我们需要使用更小的元件。在射频电路中，波长往往极小，此时元件尺寸可与波长相比拟。
以相同例子说明：若电阻与电感之间的导线长度为1mm，当波长为10mm时，可使用集总分析；但如果波长为1mm，此时无法进行集总分析——因为如前所述，元件尺寸（Lc）必须远小于电路的特征波长。
下面的示意图中，左侧表示低频场景，波长较长。假设此处有一个小型电路，由于波长远大于电路尺寸，因此可以进行集总分析，且分析结果有效。
右侧表示高频场景，波长较短。此时可以看到，波长与元件的特征长度相当。因此，左侧的集总分析是有效的。在芯片的集成电路设计中，芯片的长度和宽度可能为1mm×1mm，而内部元件可能远小于1mm，甚至与10GHz信号的波长不可比，这种情况下可以采用集总分析。
假设我们在电路板上设计高频电路（如右侧所示），电路板上元件之间的每条连接线都相当于一条传输线。如果计算沿线的电压，会发现V1≠V2。因此，此时需要采用分布式分析，而非集总分析。
2、什么是分布式参数分析
分布式分析的最佳示例是传输线——此时元件之间的连接线不可忽略，因为线长已与波长相当。如下方传输线示意图所示：传输线本质上可视为导线（例如右侧的微带传输线示例），其中矩形结构的上层（导线1）和底层衬底的接地平面构成两层金属结构，形成传输线。图中传输线长度为3λ（λ为波长），由于线长与波长可比拟，需采用分布式分析；即使线长仅为λ/4，也应使用分布式分析。
一般来说，当线长接近或超过波长时（如线长≥λ/10），就必须采用分布式分析。例如，当入射波沿导线传播时，导线两端的电压Va≠Vb。
二、什么是传输线
简而言之，射频传输线的作用是将射频功率高效地从一点传输到另一点。因此，在无线电系统中，选择合适的射频电缆至关重要。其类型包括电缆和波导。在射频系统中，传输线是天线与发射机之间的连接纽带——发射机产生驱动天线的功率，而传输线负责传递这一功率。
与集总系统不同（集总系统中电压和相位处处相同），传输线并非简单的连接导线。在射频领域，由于波长较短，传输线上各点的信号幅度和相位会随长度变化。传输线属于分布式网络，其长度可与波长相比拟。如以下示意图所示，若在传输线上选取两点，其电压和电流的幅度或相位均不相同。分析这类系统的最佳方法之一，是将传输线划分为无穷多个小段。
假设我们有一条长度为L的传输线，从中选取一个短片段。由于该片段足够短（例如长度为1m，而∆Z为1mm，远小于波长），可将其建模为集总网络，并通过以下方程求解。
从左侧电路开始：首先是电阻，其次是电感——在高频下，即使是小段导线也会呈现电感特性（无需螺旋绕制）；然后是极板间的电导G（G=1/R）和电容。这里的R∆Z表示什么？R是两根导体的单位长度串联电阻（单位：Ω/m）。举例来说，若R=100Ω/m，要计算1毫米短片段的电阻，则R∆Z=100Ω/m×0.001m=0.1Ω。
这四个参数是传输线电报方程的基础，对应传输线的4种损耗/效应：
R：导体的欧姆损耗（铜损），频率越高趋肤效应越明显，R越大。
L：导体的电感效应，决定传输线的特性阻抗和相位速度。
G：介质的漏电损耗（介质损），高频下介质损耗角正切越大，G越大。
C：导体间的寄生电容，决定传输线的充放电特性和带宽。
电感、电导和电容的情况也是如此。顶线存在与电感串联的电阻，因为在高频下它会表现出电感特性，并且两板之间存在电容和电阻。这表示两板之间的电容。在现实世界中，如果有两块板，这两块板就会起到电容器的作用。
该电容是顶板和底板之间的电容，这就是我们开始分析分布式网络的方式。选择一小部分，然后编写方程，最后我们会认为∆Z趋近于零，因为它非常小。
三、传输线的向量方程
如下所示，我们有一个长度为∆Z的短片段，该片段的起点和终点分别为Z和Z+∆Z。
此处的电压和电流是时间和位置的函数，因此存在两个电压：网络输入端的电压和输出端的电压，它们位于不同位置，分别为V(Z,t)和V (Z+∆Z,t)。电流同理。该片段包含四个元件：电阻、电感、电导和电容。我们可以利用基尔霍夫电压定律（KVL）和基尔霍夫电流定律（KCL）建立方程。由于这是集总分析，因此可应用KVL，具体方程如下：
为了求解这两个方程，我们将其两边同时除以ΔZ，并对ΔZ取趋近于0的极限。由于ΔZ是极短的长度，我们最终得到两个微分方程。为了求解这些方程，我们不直接在时域中处理，而是将其转换为相量形式（本质上是傅里叶域）。
举一个例子
问题：如何将电压 V=2 cos(ωt+30°) 表示为相量形式？
为了将电压 V=2cos(ωt+30°) 转换为相量形式，需将其表示为复指数形式：V = Re{V₀⁺·exp(jωt)}，其中V₀⁺ 为电压的相量幅值。
借助欧拉公式：
cos(x) = (e^(jx) + e^(-jx))/2
推导过程如下：
1. 将原式代入欧拉公式：
V = 2cos(ωt+30°)
V = 2·[(e^(j(ωt+30°)) + e^(-j(ωt+30°)))/2]
V = e^(j30°)·(e^(jωt) + e^(-jωt))
2. 因此，电压的相量形式为：
V₀⁺ = 2e^(j30°)，其中2为幅值，30°为相位。
这里，V₀⁺是电压的相量幅值，等于2e^(j30°)，30°表示电压波形与参考轴的相位差。
最终，V=2cos(ωt+30°) 的相量形式可表示为：
V=Re{V₀⁺·exp(jωt)}=Re{2e^(j30°)·exp(jωt)}=2cos(ωt+30°)+ j2sin(ωt+30°)
回到传输线方程：
对∂i(z,t)/∂t求导后，可得相量形式为jωI(z)。基于此，我们得到相量形式的方程，并进一步推导出二阶方程。其中，γ为复传播常数，由电阻、电感、电导、电容四个元件决定，其表达式包含实部和虚部。
二阶微分方程可通过拉普拉斯变换等方法求解，最终得到电压和电流的表达式。这些方程包含两个分量（正方向和负方向），其具体值需由初始条件确定。目前，理解该过程的核心概念更为重要。
其中，e^−γz项代表沿+z方向（正z方向）传播的入射波，e^+γz项代表沿-z方向（负z方向）传播的反射波。
如你所见，我们有两个分量：第一个是V₀⁺，因为项e^⁻γZ表示沿+Z方向传播的波；第二个项e^⁺γZ表示沿-Z方向传播的波。为什么称其为波传播呢？从该相量中可以看出，传输线上的电压取决于位置，是Z的函数。例如，假设有一条传输线划分为不同区段Z₁、Z₂、Z₃…Zn，传输线上这些点的电压将取决于其位置，因此每个位置的电压都不同。上述方程以相量形式给出了每个位置的电压和电流，我们也将推导出其时域方程。目前可以认为，这两个方程由两列电压波组成：一列向负方向传播，另一列向正方向传播。
做一个总结：
1. 对于极短的传输线段，可应用基尔霍夫电压定律（KVL）和电流定律（KCL）建立集总分析方程；
2. 推导微分方程并转换为相量形式，最终求解得到电压和电流的相量方程；
3. 电压和电流的幅值与位置相关，不同位置的电压和电流值不同；
4. 方程中的两个分量分别代表正向和反向传播的波（尽管从频域公式中暂无法直观看到波的传播特性，但可理解为两部分分别对应波的传播方向）。
四、什么是特性阻抗
通过上文我们已得到相量形式的方程V(z)和I(z)，并将V(z)的表达式代入以下公式（如下所示）：
现在我们得到了方程（3），可用其定义特性阻抗。方程（4）的形式为：1/Z₀ +电压，因此特性阻抗可定义为沿传输线传播的行波的电压幅值与电流的比值。本质上，我们只需将电压除以电流，该比值即称为特性阻抗。
特性阻抗与L、C或R不同，它并非物理意义上的阻抗。例如，我们可以在传输线上某点获取电压，并将其除以该点的电流，所得结果即为特性阻抗。
根据该公式，某点的电压与同一点的电流相除，其比值即为特性阻抗。由此还可推导出另一表达式，表明传输线上的电压相量与电流相量通过特性阻抗关联。
因此，若将这些相量相除， Vo+/Io+表示正向传播方向的特性阻抗，而负号则对应反向传播方向的特性阻抗。接下来介绍两个重要概念：线上波长和相速度（传播速度）。
线上波长与传播速度/相速度
1. 线上波长：
电磁波的波长等于传播速度（相速度）与频率的比值。在自由空间中，电磁波的传播速度等于光速c，因此波长可表示为c/c/ƒ ，当频率ƒ升高时，波长会相应减小。
2. 传播速度（相速度）：
以绳波为例，当我们在绳上产生波动时，波会沿绳传播一段距离，这个传播的速度即为相速度。如下图所示，绳波的传播体现了波的传播速度概念：
（此处可想象绳波示意图：手持绳子一端上下抖动，波形沿绳长方向移动，其移动速度即为相速度。）
绿色点A为波的产生点，并开始向红点移动，因此A、B两点间距离为L。波传播需要一定时间，若用x表示距离，V表示速度，T表示时间，则有x= V·T，即L = V·T，其中V为传播速度。
在自由空间中，波速等于光速c；但若传输线的速度因子α<1，则传输线上的相速度Vp = α·c。因此，传输线上的波长可表示为：
λ = Vp/f，其中Vp为传输线中的传播速度（相速度），f为频率。
相速度Vp与角频率ω、相位常数β的关系为：Vp = ω/β，其中ω = 2πf。上文中我们已经知道，传播常数γ=α+jβ（α为衰减常数，β为相位常数）。若已知传输线的电感L、电阻R、电容C、电导G，可计算γ值，进而得到β。此外，传输线的结构（如线宽）会影响L、R、C、G的取值，从而改变相速度。波长与β的关系为：λ = 2π/β。
五、什么是无损传输线
当传输线没有线路电阻或介质损耗时，称为无损传输线，这意味着没有功率耗散，其作用就像理想导体。在现实世界中，无法对无损传输线进行建模，但我们研究它是因为它使传输线的理解和分析变得更简单。
从上文中我们知道，传播常数γ=α+jβ，在无损情况下α变为0。如果传输线是无损的，那么方程变为：
让我们通过一个示例来理解无损传输线：
某无损传输线的特性阻抗为72Ω，频率为100MHz，电感L=0.5μH/m。求电容C、相速度Vp和相位常数β。
从上文我们知道传输线的特性阻抗是沿线路传播的单一行波的电压与电流幅值之比。因此，若已知四个初级参数，电阻（R）、电容（C）、电感（L）和电导（G），即可计算特性阻抗Z₀。
如前所述，对于无损传输线，R和G均为零，因此特性阻抗Z₀可表示为：
因此，波在该传输线内的传播速度为0.14×10⁹m/s。
六、无耗传输线的特殊情况
假设其中一根传输线一端短路，即负载阻抗ZL=0；另一根传输线一端开路，即负载阻抗ZL=∞。我们将利用反射系数公式分别解释这两种情况，并说明它们在阻抗匹配中的应用。
特殊情况 1：传输线终端短路
假设有两段特性阻抗均为Z0的相同传输线，一端均接未知负载阻抗ZL。其中一根传输线终端短路，即负载阻抗ZL=0。此时短路传输线的反射系数Γ为：
Γ=(ZL+Z0)/(ZL−Z0)=−1
由于传输线终端短路，短路端电压为0，全部入射能量都会反射回信号源。反射波与入射波幅度相同，但相位相差180°。反射系数为−1表示：反射波幅度与入射波相同，符号相反。
在阻抗匹配中，短路传输线可用于将负载阻抗变换为传输线的特性阻抗。若负载阻抗ZL=Z0/2，则反射系数为：
Γ=(ZL+Z0)/(ZL−Z0)=−1/3
在负载与源之间接入一段短路传输线后，源端看到的输入阻抗为：Zin=Z0*((1+Γ)/(1−Γ))=2Z0/3
从而实现与传输线特性阻抗的匹配。
特殊情况 2：传输线终端开路
同样假设有两段特性阻抗均为Z0的相同传输线，一端接未知负载阻抗ZL。其中一根传输线终端开路，即负载阻抗ZL→∞。此时开路传输线的反射系数Γ为：
Γ=(ZL+Z0)/(ZL−Z0)=1
由于传输线终端开路，开路端电流为0，全部入射能量都会反射回信号源。反射波与入射波幅度相同，但相位相差180°。反射系数为1表示：反射波幅度与入射波相同，符号相反。
在阻抗匹配中，开路传输线可用于将负载阻抗变换为传输线的特性阻抗。若负载阻抗ZL=2Z0，则反射系数为：
Γ=(ZL+Z0)/(ZL−Z0)=1/3
在负载与源之间接入一段开路传输线后，源端看到的输入阻抗为：
Zin=Z0*((1+Γ)/(1−Γ))=Z0/3
从而实现与传输线特性阻抗的匹配。
七、四分之一波长传输线
1、什么是四分之一波长传输线？
四分之一波长传输线具有特性阻抗Z0，可用于实现信号源与负载之间的阻抗匹配。
我们通过选择合适的四分之一波长线长度，使从源端看向传输线的输入阻抗达到目标阻抗值。
四分之一波长传输线的阻抗变换基于电谐振原理。在特定频率下，该传输线的阻抗与负载阻抗匹配，从而实现从源到负载的最大功率传输。
根据负载阻抗的不同，四分之一波长线可表现出电感或电容特性。
四分之一波长传输线是一类长度设计为所传输信号波长的1/4的传输线，长度公式为：
L=λ/4
其中λ为信号波长。
它广泛应用于射频（RF）电路、天线及微波系统中，主要用于阻抗匹配。
若负载阻抗ZL=0（终端短路），四分之一波长传输线的输入阻抗将变为无穷大（等效开路）。
这是因为在传输线开路端，电压达到最大值、电流达到最小值，从而呈现极高阻抗。
若负载阻抗 (ZL) 不为零，接有负载 (ZL) 的四分之一波长传输线可作为匹配电路使用。
此时，传输线的输入阻抗Zin可由下式计算：
其中Z0为传输线的特性阻抗。
若负载阻抗ZL为实数，则输入阻抗也为实数。
通过选取四分之一波长长度，将负载阻抗变换为传输线的特性阻抗，即可实现阻抗匹配。
也就是让传输线输入端看到的阻抗恰好等于特性阻抗Z0。
2、四分之一波长传输线应用示例
示例1
假设负载阻抗ZL=50Ω，传输线特性阻抗Z0=75Ω。
为实现负载与特性阻抗匹配，可使用一段长度为λ/4的四分之一波长传输线，其中：L=λ/4=v/4f
v为信号传播速度，f为信号频率。
电路的谐振频率为：
f=v/4L
通过选择合适的传输线长度，可将负载阻抗变换为传输线的特性阻抗，实现源到负载的最大功率传输。
示例 2
一个使用四分之一波长传输线进行阻抗匹配的例子：
假设负载阻抗ZL=100Ω，需要将其匹配到特性阻抗Z0=50Ω的传输线上。
此时可使用一段长度为λ/4的四分之一波长传输线，其中λ为信号波长。
首先，我们需要计算四分之一波长传输线的长度。信号波长λ由下式给出：
λ=v/f
其中v为信号传播速度，f为信号频率。
假设信号频率为1GHz，传播速度为2x10^8m/s（真空中的光速），可得波长λ=0.2m。
因此四分之一波长传输线的长度为：
L=λ/4=0.05m
接下来，计算四分之一波长传输线的特性阻抗Z1，使用公式：
其中Z0为主传输线的特性阻抗50Ω，ZL为负载阻抗100Ω。
代入数值可得：
若要绘制输入反射系数幅值|Γin|随频率变化的曲线，需要通过下式计算
式中Zin为电路的输入阻抗，表达式为：
将Z0、Z1和L的数值代入，即可得到Γin关于频率的函数，随后便可绘制出反射系数幅值随频率变化的曲线，如下图所示。
其中，f为电路的谐振频率，在该频率下输入阻抗与特性阻抗实现匹配；
f1为反射系数达到最大值时的频率。
在谐振频率处，输入反射系数Γin的幅值最小；
当频率偏离谐振频率时，反射系数幅值会逐渐增大。
匹配电路的带宽，由反射系数幅值低于某一阈值（如0.1或0.2）的频率范围来确定。
八、传输线与史密斯圆图的关系
1、什么是传输线？它与史密斯圆图有何关系？
传输线是电气工程中的基础部件，用于将电信号或功率从一点高效传输到另一点。它由导体和绝缘体构成，广泛应用于通信、配电以及射频（RF）工程等领域。
传输线具有特性阻抗，决定了信号沿线路的传播方式。当传输线阻抗与所连接的信号源和负载阻抗匹配时，可实现最大功率传输，并使信号反射最小化。
史密斯圆图是射频与微波工程中用于分析和设计传输线及匹配网络的图形化工具。它能直观表示沿传输线各位置的复阻抗，显示归一化阻抗与导纳值，帮助工程师快速判断沿线不同位置的阻抗匹配情况、反射系数及其他参数。（更多关于史密斯圆图的知识可以参考射频基础知识---史密斯（Smith）圆图回顾）
传输线与史密斯圆图的关系，体现在二者联合用于阻抗匹配和射频电路特性分析。工程师利用史密斯圆图进行计算，设计能实现器件间阻抗匹配的传输线，确保功率高效传输，并减小因反射带来的信号损耗。
传输线会因其长度、终端负载和特性阻抗产生阻抗变换效应。史密斯圆图可作为可视化工具，清晰展示阻抗沿传输线的变化规律。工程师借助圆图预测阻抗变化，从而设计出高效的信号传输方案。
2、线路特性可视化
- 反射与驻波：传输线会因阻抗不匹配或线路突变产生反射与驻波。史密斯圆图能直观呈现这些现象，帮助工程师定位阻抗不匹配位置，并进行必要调整以实现最佳信号传输。
- 损耗与衰减：损耗、衰减等线路特性对信号完整性至关重要。史密斯圆图有助于理解这些因素，展示阻抗变化如何与传输线上的信号损耗、衰减相关联。
3、阻抗匹配策略
传输线通常需要精确的阻抗匹配，以实现最大功率传输和最小信号损耗。史密斯圆图可作为设计指南，帮助工程师设计匹配网络、调整线路阻抗，使系统达到最优性能。
传输线方程：
4、常见问题FAQ
（1）问：史密斯圆图如何帮助预测传输线上的阻抗变化？
答：史密斯圆图可以直观显示沿传输线长度的阻抗变换，帮助工程师预判由反射、驻波或阻抗不匹配引起的阻抗变化。
（2）问：阻抗匹配在传输线设计中起到什么作用？
答：阻抗匹配保证传输线实现最大功率传输、最小信号损耗。史密斯圆图可辅助设计匹配网络，实现高效信号传输。
示例场景：使用史密斯圆图进行传输线分析
已知某传输线参数如下：
- 特性阻抗 Z0=50Ω
- 线路长度 L=0.4λ
- 负载阻抗ZL=60+50Ω
1. 计算归一化负载阻抗Z1
首先对负载阻抗进行归一化处理：
将归一化负载阻抗1.2+j1标注在史密斯圆图上，观察其位置。
2. 确定反射系数Γ
利用史密斯圆图计算反射系数：
在圆图上找到并标出反射系数，通过其幅度和相位直观反映信号反射程度，从而判断阻抗失配情况。
反射系数也可通过公式直接计算。
3. 求负载导纳YL
根据负载阻抗计算负载导纳：
在史密斯圆图上标出该负载导纳，观察其在阻抗平面上的位置，分析负载与传输线之间的相互作用。
同理，负载导纳也可通过对负载阻抗取倒数直接计算。
史密斯圆图如同灯塔，帮助工程师拨开传输线理论的层层迷雾。
它以图形化方式呈现阻抗变换，直观揭示传输线特性，并为阻抗匹配提供设计指引，成为工程师分析射频传输线复杂问题时不可或缺的工具。
好了，这就是本期的内容，希望对大家有所帮助。
