解卷积恢复频谱

01 解卷积

一、前言

前两天讨论了在单片机频谱分析软件中，通过数据加窗方法来减少结果中的杂散频谱。有同学提议，既然理论上知道，举行加窗引起结果中频谱失真。是信号频谱与 方波的频谱，也就是 sinc 函数卷积的结果。那么为什么不能够直接对频谱信号，通过解卷积运算，恢复原始信号的频谱呢？   提出这个观点的同学显然对于卷积，解卷积运算比较熟悉。那么到底是否可以通过解卷积来恢复原始信号的频谱呢？

二、解卷积

对于两个离散序列信号，它们的卷积， 定义为右边的表达式。如果已知它们的卷积结果，以及其中一个信号，求解另外 一个信号，这个过程被称为解卷积。一般情况下，求解解卷积不太方便。但是，当两个信号都是因果信号时，我们可以有一个比较简洁的解卷积递推公式。也就是把卷积和分成两部分，把卷积结果记为 y[n]，基于这个表达式，我们可以得到 x[n] 求解的递推公式。

基于这个表达式，将累加部分，转移到方程的左边，   再把 h[0] 除到左边，这一下就好了，我们得到了 关于 x[n] 求解的递推公式了。

在这个公式中，y[n]是已知的卷积结果，h[n]是已知的一个序列。从 0 到 n-1 的 x[n] 是已经求出的前 x[n]由此，可以计算出 x[n]。根据这个方法， 可以写出x[0]  的表达式，接下来求出x[1]，求出x[2]，求出x[3]。由此，逐步求出所有的 x[n] 的取值。

这种通过递推进行解卷积的方法，需要一个假设条件，那就是要求参与卷积的两个序列信号  x[n], h[n]  都是因果信号才行。

在前面数据加窗频谱分析过程中，参与卷积的两个频谱，矩形窗口的频谱不是因果信号。所以，上面解卷积的方法就无法使用。

三、时域分析

实际上，无法通过解卷积获得信号真实频谱，这其中的原因也可以在时域进行分析。对于得到的一段数据，是由无限长的正弦波与窗口信号相乘而得。因此，将加窗后的数据，除以窗口信号 理论上就可以得到原始信号。但在这里就遇到了困难。因为窗口信号两边都是 0，实际上 乘以 0 之后，原来的数据是无法从乘积结果中进行恢复的。这也说明，无法通过对频谱进行解卷积获得实际频谱了。

※ 结  论 ※

本文对通过解卷积恢复数据频谱进行了探讨。实际上，是无法进行恢复的。