01 非线性共振

共振是指动态系统在施加周期作用力下所产生的最大运动幅度的物理现象。那么，什么是动态系统？，什么是周期激励？下面在介绍探究实验之前先将这些基本概念进行阐述。

一、动态系统

1、定义

名称通常用于表述日常遇到的物体。比如，你看到由四个轮子支撑的金属框架，行进在高速公路上，汽车这个词语就会浮现在我们的脑海里。定性描述则可以让我们的沟通和描述物体更加轻松，尽管它极其有用，但还不足以描述我们周围事物全部的复杂性。定量描述则对于某些特殊细节刻画显得非常必要。一组关于尺寸、温度、质量等物理量可以提供更加清晰的刻画。大多数情况下，一个物体某些特性定量描述会保持恒定，但有些复杂的物体则需要特殊的定量描述，例如那些随着时间变化的物理量。

举一个容易理解的例子，一朵花的尺寸随着时间它不断的变化。描述花儿的尺寸需要使用到一个有关时间的函数。自然界中很多其它演变的例子呈现很多迷人的特性。

2、动态系统举例

• 秋千 ：它的运动是周期性将势能与动能之间进行转换；种群增长：种群数量的周期性的增加与减少反映了猎食者与被猎食者之间的相互作用和转换；人的大脑：集中在神经元之间的周期化学信号变化；

▲ 图1.1.1  秋千与玩耍的小朋友

二、周期激励

1、定义

力通常会引起变化，通常事物改变自己的状态过程中依靠力来进行能量的转换。比如，桌面原本静置的茶杯在某一方向力的作用下会改变位置。如果物体所承受的作用力随着时间不断变化，就有可能形成周期作用力。比如你在推动坐在秋千上儿童的力就是一个周期作用力，这是因为你只在秋千达到最高点时施加推力。这种引起系统或者物体变化的外部作用力被称为周期激励。

2、周期激励举例

• 人的感觉器官：比如人的眼睛就是接受特殊电磁波（周期震荡电磁场）的感官；人的耳朵听到声音也是收到空气中的周期震荡信号引起的响应；季节变化：对于生物系统来讲，季节的变化就是外部施加的周期（一年时长）激励信号；交流电：电路输入端的交流信号可以电路内部状态的变化；

在定义了动态系统以及周期激励信号之后，我们可以考察一个动态系统在周期激励作用下的动态特性。比如对于乘坐在秋千上的小朋友施加的周期推力持续增加，并且周期与秋千的摆动周期恰好一致。毋庸置疑，按照自然规律所产生的的结果会令人吃惊。

三、共振

1、什么是共振？

动态系统在周期激励下产生最大震动幅度的现象被称为共振。例如，恰好与秋千摆动频率相同作用的周期推力尽管小但仍然可以将秋千推动起来。你若不信可以自己坐在秋千上，让一个小盆友周期推动你，稍花费一点时间便可以推动到很大的摆幅。此时，我们称秋千系统与小盆友推力之间形成的共振。

2、为什么共振重要？

实际上我们生活的方方面面都离不开共振，比如：

• 无线通讯：无线通讯就是利用了电子线路与电磁波之间的共振现象；核磁共振：利用核磁共振，也就是原子核与交变磁场之间的共振现象，让我可以了解生物料理更多的性质；塔科马峡谷悬索桥灾难：如果你忽略共振的威力，有可能会导致灾难。例如很小的风的扰动曾经引起塔科马峡谷悬索桥的崩塌。现在人们对于此次塌桥事件是否真的是由共振引起还在争论。毋庸置疑，塔科马大桥的崩塌是周期作用力下共振现象的最高例证。

▲ .塔科马悬索桥共振现象

Chladni 平板共振现象：在一个平板上引入声音震动，利用平板上的分布的砂砾可以显示不同频率下平板震动的模式，它将声音对应的不同震动几何模式活灵活现的表现出来。

▲ 图1.3.2  Chladni 平板共振现象

声音震碎酒杯 ：可以显示对应特殊频率的声音可以引起酒杯的共振，进而酒杯破碎。

3、混沌系统共振？

利用电路来研究共振现象，相比起其它手段更加有效。它可以通过修改电路中元器件参数来改变电路的动态特性。1983年， Leon O Chua 提出了一个简单电路模型可以演示出动态系统中的 混沌现象。利用Chua 混沌电路可以让我们进一步了解非线性动态系统的一些不为人知的特性。

这就有意思了。前面所谈到的很多共振都是发生在线性动态系统中。对于一个呈现复杂运动特性的混动系统，它会在外部施加的激励信号下能够产生什么样的最大幅值的输出信号呢？

由于Chua给出的混动电路，非常经典，简单。有很好的的数学模型进行描述。所以无论使用数学仿真，还是搭建实际电路都非常方便人们来研究混沌电路系统的共振现象。

如果你对此感兴趣，在 Investigating Non-Linear Resonance in Chua[2] 中， Gabriel St-Pierre 给出了有利于初学者进行一步一步实验的具体描述。

▲ 图1.3.3 非线性动态系统共振探究项目结构

02 共振实验

一、利用Mathematical研究理论研究

通过网页上给出的GitHub上可以下载的 Mathematica程序，可以方便的对Chua混沌电路进行数学仿真。通过实验可以知道：

各种非线性共振的具体形式是什么？描述Chua混沌系统共振的参数以及原因是什么？

▲ 图2.1.1 Mathematica数学仿真结果

下面是在Mathematica中进行软件仿真提供的界面。可以很方便设置外部激励信号的参数，以便观察系统输出信号的形式。

▲ 图2.1.2 Mathematica 软件实验界面

对于像混沌电路这样的非线性动态系统来说，除了常规的共振现象之外，还有以下各种共振现象：

• 随机共振现象：Stochastic Resonance摆动共振现象：Vibrational Resonance诡异共振现象：Ghost Resonance相干共振现象：Coherence Resonance自共振现象，相锁定共振：Autoresonance, Phase-Locked Phenomenon参数共振：Parametric  Resonance

上述共振概念可以在给定的网页中找到初步的定义。

▲ 图2.1.3 在不同的激励信号下研究各种共振现象

▲ 图2.1.4 研究系统各个参数如何影响相同特性的

▲ 图2.1.5 用于描述系统线性和非线性特性参数

这的确开阔了我们对于动态系统共振的认知。

二、利用LPSpice电路仿真

利用电路仿真软件来验证Chua混沌电路的运行特性。

▲ 图2.2.1 利用LPSpice获得的Chua电路的运行波形

▲ 图2.2.2 用于LPSpice 电路仿真的电路图

▲ 图2.2.3 无外部激励信号下混沌信号的频谱图

▲ 图2.2.4 在外部信号作用下的信号频谱图

▲ 图2.2.5 对于不同频率下共振相应Q因子

三、搭建测试电路

任何仿真都是对研究对象的近似。实际物理系统中仍然存在着大量现象是仿真所无法揭示的。** Gabriel St-Pierre** 最后给出了制作Chua混沌电路PCB设计制作的文档。可以方便搭建多个混沌电路系统，来进行实际信号的测量观察。

▲ 图2.3.1 Chua混沌电路设计制作

▲ 图2.3.2 电路原理图主图

▲ 图2.3.3 Chua非线性二极管子图

▲ 图2.3.4 实验使用的PCB电路板

▲ 图2.3.5 电路板三维图

▲ 图2.3.6 成品电路板

▲ 图2.3.7 焊接好的电路板

▲ 图2.3.8 研究在不同的激励信号下的系统输出

▲ 图2.3.9 实验平台

▲ 图2.3.10 测量在不同的电位器下电路的输出信号

▲ 图2.3.11 电路在不同的外部激励信号下的输出信号

▲ 图2.3.12 共振信号在级联混沌系统中的传播

03 结论

这也许是我看到的最有趣的关于混沌电路系统的实验指导书。在传统的混沌电路的基础上可以展示出一些特殊的共振现象。这些现象不仅开展了我们对于动态丰富现象的认知，也为未来构建类脑模拟计算提供了一些新的思路。

如果你感兴趣，不妨试试这些优美的电路。

参考资料

[1]Investigating Non-Linear Resonance in Chua: https://www.instructables.com/Investigating-Non-Linear-Resonance-in-the-Chuas-Ci/

[2]Gabriel St: https://linktr.ee/gabrielstpierre