COMSOL进行有限元仿真，Heaviside单位阶跃函数是怎么回事？

在COMSOL中，有一个经常被忽略的关键函数，就是Heaviside 函数。它将“有/无”的逻辑引入连续场中，在涉及相变、界面追踪等问题中常常会被用到。

一、定义

Heaviside函数，又称单位阶跃函数，在数学上通常定义为

当t为负时，函数值为0，t为正时，函数值为1，函数的变化在0点处发生。

关于t=0的取值，在数学上有不同约定，常见取0、0.5、1。

二、物理意义

Heaviside常用于表示一个状态的激活，也被称为开关函数，t=0时就是函数的开关。

开关也可以定义在任意阈值c，即用 来定义开关位置。

此外，也可以通过组合或缩放变换开关的类型，或使其在打开时具有任意值。

Heaviside 函数可以用于表示电流的通断，物质是否存在，以及区间物理性质的突变。

它也常常用于Level Set方法中，描述两相区域间材料属性的分界。

三、平滑函数

在有限元求解中，如果模型材料属性中定义了阶跃函数，可能会影响模型的收敛性。因此，在COMSOL中，可以将其替换为平滑的Heaviside 近似函数，以保证连续性。

flsmhs(x, scale)：平滑阶跃，在阶跃的两侧具有连续的一阶导数，并带有过冲。

flc1hs(x, scale)：平滑阶跃，具有连续一阶导数，无过冲。

flc2hs(x, scale)：平滑阶跃，具有连续二阶导数，无过冲。

函数通过scale控制，使函数在区间 −scale < x < scale 内平滑过渡。