芯耀
与非AI
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傅里叶变换作为信号分析领域中相当重要的分析技术，它将时域周期信号分解为不同频率的正弦波叠加。借助这一核心变换思想，原本在时间维度上杂乱无章、难以直观解读的波形数据，能够精准映射至频域空间，清晰剥离出信号内部包含的基频分量、谐波分量与杂波干扰分量。
为了使初学者能够进一步的了解这个概念，本文我们的目标是在Multisim中利用运算放大器，从头构建一个"振荡器"来产生特定频率的方波，之后利用"滤波器"将方波中的主要频率提取出来，之后再利用运算放大器将提取出来的频率信号还原成方波。
旨在让初学者明白：「原来傅里叶不是数学题，是物理事实。」
1、方波的组成
波的组成本质上是无数不同频率、不同幅值的正弦基波叠加而成，依据傅里叶级数原理，理想周期性方波可由基波正弦波与一系列奇次高次谐波共同合成，不存在偶次频率分量。
你如果学过信号与系统或者模拟电路，一定被傅里叶变换折磨过。周期信号可以分解为不同频率正弦波的叠加，这句话每个教科书都会写，考试也会考，但你很难在脑子里把它变成一个具体的画面。
其实方波就是一个最好的例子。
一个理想方波，它的频谱构成非常干净。以自身频率为基频，叠加3次谐波，幅度是基波的三分之一；叠加5次谐波，幅度是五分之一；然后是7次、9次……只有奇次，没有偶次。谐波次数越高，幅度越小，但你叠得越多，波形边缘就越陡，就越接近一根标准的矩形。
我在 Multisim 里拉了三个函数发生器，分别产生 1KHz/1V、3KHz/0.33V、5KHz/0.2V 的信号。这三个信号代表方波的基波、三次谐波和五次谐波。幅度比例严格按 1:1/3:1/5 来走，这正好是傅里叶级数给出的系数。
然后全部送进一个加法器。
示波器接在加法器输出端，一个粗糙的方波出现了。它不完美，边缘圆钝，顶部有波纹起伏，但方波的骨架清晰可见。就三个正弦波，拼在一起，变了一个样子，亲眼看到这个波形的冲击力，比课堂上算十遍傅里叶级数都强。
好，原理验证完了。但这只是用信号发生器模拟的，不算真本事。接下来我们要自己搭一个真实的方波源，再从里面把各个频率分量提取出来，最后拼回去。闭环跑通，才算真正理解。
2、方波产生
方波源用的是LM324运放。这个芯片应该是所有电子人入门的第一颗四运放，几毛钱一颗，驱动能力弱但做实验足够。搭成一个RC振荡器，核心就是一个滞回比较器加充放电回路，振荡频率由阻容值决定。本文的目标频率是 1225Hz，具体计算不展开了，重点是输出波形。
但在进入滤波器之前，我做了一件事。在振荡器输出后面串了三个电压跟随器。
为啥要这么搞？跟随器输入阻抗高、输出阻抗低，隔离前后级之间的串扰。你不加这个，后面滤波器一接上去，负载效应会反过来影响振荡器的频率和波形。做模拟电路有个不成文的规矩，级联之前先隔离，不然后面调试的时候你会怀疑人生。
3、带通滤波电路
好了，方波有了。下一步，把它拆开。我们需要三个带通滤波器，中心频率分别设定为基波的1225Hz、三次谐波的3675Hz、五次谐波的6125Hz。每个滤波器只让目标频率附近的信号通过，其他频率成分全部衰减。
滤波器设计这一步，我自己是不手算的。传递函数、Q 值、元件参数，算一遍要半张 A4 纸，三个滤波器就是三张。我直接用了 ADI 的在线滤波器设计向导，输入中心频率、通带宽度、阻带衰减，它直接给我电路拓扑和元件值。这玩意对做模拟电路的人来说就是外挂，没道理不用。
设置中心频率为我们想要的正弦波频率，第一个正弦波频率为1225HZ，通带选择100HZ，阻带选择1.5KHZ，带通滤波器会对中心频率之外的信号实现衰减。
同时需要注意的是，不同频率的信号经过带通滤波器也会发生相位的变化、例如我们的1225HZ方波经过这个带通滤波器的时候会发生：除了1225HZ附近的正弦波信号幅度都被大幅度衰减，同时所有的信号根据相位频率图发生一定的相位变化。
接着参考ADI滤波器设计向导给出的电路参数来搭建带通滤波器。
可以看到滤波出来的正弦波非常的感觉，同时也发生了一定的相移。这是滤波器不可避免的副作用。带通滤波器在改变信号幅度的同时，也会引入随频率变化的相位偏移。三个正弦波的过零点完全错开。
重复这个流程继续设计出三次谐波，五次谐波的带通滤波器，同时我们观察到不同频率的幅度、相位都不一样，但是波形都非常的干净。
再进行合成之前我们还需要做两个事情：调节三个部分的电压幅度，让其比例达到方波的要求：幅度比例为频率倍数的倒数即1:0.33:0.2；另外就是要让三个正弦波的相位调整至相同（可以以一个正弦波为基准，调节另外两个正弦波相位至相同）
3、幅度相位调理电路
第一部分调理电路是将三次谐波和五次谐波的信号放大/衰减到基波信号的三分之一和五分之一，之后利用跟随器进行前后隔离。
相位部分用移相电路。以一个正弦波为基准，把另外两路旋转到跟它过零点对齐。
关于移相器可以参考下面这篇文章
由数学反推电路：全通滤波器及移相器设计
相位调整前后对比
相位调整前后的对比非常直观。示波器上两个正弦波的波峰从错开变成重合，这就对了。这一步调好之后，三路信号的条件终于满足了傅里叶级数的要求，幅度 1:1/3:1/5，相位一致。
4、加法器合成
最后一步，加法器。三路调理好的正弦波全部送进加法器，输出接示波器。
总结
一个由基波加三次加五次谐波拼出来的方波出现了。它还有圆角，顶部还有波纹，只是三次和五次，还远不够。七次、九次、十一次……理论上你需要无穷多个奇次谐波才能得到完美的矩形。但这个波形已经足够说明一切了。
看着它，就知道方波不是什么数学抽象，它就是一堆正弦波摞在一起。
做完这套实验之后，对傅里叶变换的理解不再是纸上的积分公式了。它是一个你在Multisim里可以亲手操控的过程，你可以产生方波、拆解方波、再还原方波，像一个信号的手术台。
模拟电路的美妙之处就在这里。每个理论都有一个对应的电路，每个公式都有一个你可以用示波器看到的波形。
很多朋友可能觉得模拟电路比数字电路难学，动不动就一堆微分方程和拉普拉斯变换。我自己的感受是，不是因为难，是因为教的方式太抽象了。如果你在学信号与系统或者模电，我强烈建议你在Multisim 里把这个实验从头到尾跑一遍。比刷十套习题有用。
