二极管PN结中的玻尔兹曼常数

在网文 An Electronic Mesurement of the Boltzmann’s Constant Using I-V Characterisctic of a Silicon 2N2309 Diode 中介绍了使用三极管 2N3094 来测量 Boltzmann Constant 的方法。

由于这个方法简便易行，所使用的设备也是大多数电子实验室都具备，所以称为很多电子类课程中，学生喜欢做的​电子实验。​

▲ Ludwig Boltzmann(1844-1904) 以及 Maxwell-Boltzmann 分布

玻尔兹曼常数（Boltzmann constant），通常使用 k,kBk,kBk,kB 表示，是指有关于温度及能量的一个物理常数。玻尔兹曼是一位奥地利物理学家，在统计力学的理论有重大贡献，玻尔兹曼常数具有相当重要的地位。

▲ Boltzmann 常数

▲ PN 结的结构示意图

这样，外部总电流为：

在推文开始提到的文章中，使用 2N3904 测试二极管的 I-V 特性。对于 2N23904 的电流放大和转换，选择了 LF356 运放进行 I-V 转换。 LF356 的偏置电压为 10mA 和偏置电流为 30pA。

▲ 基于 2N3904 的 PN 结测量 Boltzmann 常数

▲ JFET 输入的 OPAMP-LF351 运放

设置数字直流电源 DP1308 输出电压从**-0.2 到 -10V**，同时测量 A,B 两点的电压变化，并换算成 PN 结的电压 - 电流关系，绘制如下。

▲ 测量输入电压与电流曲线

▲ 电流使用 LOG 尺度绘制的数据曲线

利用模型（3）匹配上述测量数据，将模式简化成下带有参数[a,b,c]的指数函数关系，利用前面测量的 PN 结 I-V 数据，使用 SCIPY.OPTIMIZE 中的 curve_fit 函数进行函数拟合，获得参数[a,b,c]的数值。

测量参数为：

a=2.33332986e-11 b=3.79731168e+01 c=8.85188988e-03

由模式(3)可以知道，参数 b 与 Boltzmann 常数之间的关系：

由模式(3)可以知道，参数 b 与 Boltzmann 常数之间的关系：

将常数 e, T = 300(27 摄氏度)代入上面公式，可以得到:

这个数值比现在测到得到精确的 Botlzmann 常数大了 1.9%左右。在上述时间条件下，这个数值非常精确了。

将前面所使用的三极管 2N3904 更换成另外一款 NPN 性的硅三极管 8050，使用相同的测试方案完成 8050 的 b-e 结的电压 - 电流测试，所得到的数据曲线如下：

▲ 测试 NPN8050 的发射极 PN 结的 I-V 曲线

使用相同的方法进行建模，并计算参数：

使用相同的方法进行建模，并计算参数： 这个数值比精确 Boltzmann 常数大了 3.29%。

这个数值比精确 Boltzmann 常数大了 3.29%。

测量三级管 b-c 之间的 PN 结的电压与电流曲线。在上述实验中将 2N3904 的 c，e 管教互换，测量得到的 PN 结电流 - 电压曲线如下：

▲ 2N3904 的 BC 的 PN 结的电压与电流关系

这个结果比精确 Boltzmann 常数大了 14.2%。

▲ 直接对 2N3904 b-e PN 结测量对应的电压与电流之间的关系曲线

根据测量的电压电流曲线，可以得到对应的模型参数和 Boltzmann 常数如下：

这个数值比起精确的 Boltzmann 常数的数值高了 78.1%。

▲ 2N3904 的 B-E 结的 I-V 曲线

在实验[02-1]中，选择不同测量数据的来拟合估算 Boltzmann 常数会产生一定的变化。下面选择 2N3904 测量数据中，从数据编号 n=10（对应电流：0.06mA）开始，结束数据编号 n 从 50 变化到 100，使用模型（3）计算相应的 Boltzmann 常数，对应的误差曲线如下：

▲ 不同的二极管电流计算 Boltzmann 常数误差变化

从数值计算结果来看，使用前面数据测量范围（10~78），对应电流（0.06mA 变化到 0.7mA）时，测到得到的 Boltzmann 的误差最小。

使用相同的 PN 结的模型，对于四种不同的方案测量了 Boltzmann 常数，其中包括有两种不同型号硅 NPN 双极性三极管，三极管的 b-e,b-c 结的测量，以及直接测量 b-e 的 PN 结电压电流的情况。

通过前面的实验，可以看到使用 2N3904 基极接地的配置，测量的结果误差最小。更换 NPN 晶体管为 8050，测量的结果偏大一些。 如果将 2N3904 的 C,E 极进行对换，虽然从晶体管的结构上是对称的，但是结果误差更大。

由于 PN 结电压 - 电流模型中的参数随着电流不同，导数 PN 结附近半导体内部的电子与空闲运动模式变化，从而使得模型参数也发生变化。所以使用不同电流范围数据，测量数的 Boltzmann 的数据有所变化

▲ 测试电路方案